Exercices Corrigés d'Analyse II

Exercice 1 :

Soit a un réel,  continue, dérivable sur  et telle que  Montrer qu'il existe un réel  tel que  (Considérer la fonction  sur  ). Application : Une statue de hauteur s est sur un piédestal de hauteur p par rapport au sol. On l'observe d'une hauteur h < p.

1- Faire un dessin.
2- A quelle distance d faut-il se placer pour voir la statue sous un angle maximum ?


Exercice 2.


Soit f la fonction réelle :
Montrer par récurrence sur n :
Ou Pn est un polynôme. En déduire que f est indéfiniment dérivable sur R. Soit la fonction  définie par :
1- Montre que g admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0.
2- La fonction g est-elle indéfiniment dérivable sur R ?
 


Exercice 3.

Soit f la fonction définie sur IR par :
1-    Montrer que f est une fonction dérivable et impaire sur IR..
2-    Établir que pour tout
3-    Étudier le sens des variations de la fonction
4-    Montrer que f est une bijection de R sur R.
5-    En admettant que f est indéfiniment dérivable au voisinage de 0, déterminer le développement limité de   (fonction réciproque de f ) à l'ordre 5 au voisinage de 0.
 



Exercice 4 :

Pour  on considère l'intégrale indéfinie :
1-    Montrer que converge si et seulement si . Pour la convergence en 0, on utilise le résultat du cours sur l'intégrale de Bertrand :
 converge si et seulement si
2-    En effectuant deux changements de variables successives :  , montrer que
 




Exercice 5 :

On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients non constants :
Si y est une fonction sur R, pour  on pose  ou tan est la fonction tangente.
1-    Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants :
2-    Déterminer la solution générale z de (E’) et en déduire toutes les solutions y de (E).
3-    Déterminer la solution f de (E ) telle que f(0) = 0 et f’(0) = 1





Exercice 6 :

On considère toutes les boites de conserve ayant la forme d'un cylindre de révolution de hauteur h et de base un disque de rayon R ( des canettes à boisson par exemple ). Déterminer celles dont la surface a une aire minimum et un volume V fixé à l'avance ( ce sont celles qui économisent au maximum le métal, en négligeant les problèmes de sertissage i.e d'assemblage des pièces de métal ). On rappelle le volume et la surface d'une boite de conserve :





Exercice 7 :

1-    Montrer que pour tout :
Soit la fonction  définie par la relation :
      2- Montrer que  est bien définie sur R, paire et _-périodique.
      3- Montrer que  est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
      4- Conclure que  est constante et calculer .
      5- En déduire la valeur des intégrales



Exercice 8 :

Soit  , on pose
1- Montrer que si  , alors  .
2- En déduire que  .
3- Déduire de ce qui précède la valeur de





Exercice 9 :

Soit f la fonction définie pour  par
1- Montrer que l'intégrale  converge .
2- Déterminer sa valeur.





Exercice 10 :

Pour  fixé, on considère l'équation différentielle :
Si y est une fonction réelle, pour  , on pose   ou   qui est bijective dont la fonction réciproque est donnée par .
1- Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de
2- Déterminer toutes les solutions de (E’) (discuter suivant ).
3- En déduire toutes les solutions de (E).
3- Si  , déterminer la solution f de (E) tel que f(0) = 0 et f’(0) = 1.



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