La solution d'exercice 4 - Exercices Corrigés d'Analyse II


1- la fonction  est continue sur ]0; 1[. De plus si   et
Donc
Et   est intégrable au voisinage de 1 si et seulement si .
Pour l'intégrabilité en 0, on écrit
Le deuxième intégrale converge si . pour la première, on fait le changement de variables  on obtient
qui est une intégrale de Bertrand. Elle converge si et seulement si .
En conclusion l'intégrale  converge si et seulement si  car dans le cas  les deux conditions, obtenues pour chacune des bornes sont simultanément impossibles…

2- Puisque   est intégrable sur ]0; 1[ et  est une bijection de classe  de sur ]0; 1[,ce premier changement de variables donne
On effectue le deuxième changement de variables qui est bijective et de classe dans lui même, on obtient
3- Soit , une intégration par parties donne

Par récurrence
D'où



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