La solution d'exercice 7 - Exercices Corrigés d'Analyse II

1-Pour montrer que pour tout :
Il suffit de remarquer que
et donc
2- Les fonctions  sont continues sur [0; 1]. On note G et H leurs primitives respectives qui s'annulent en 0.
Comme les fonctions sont a valeurs dans [0; 1], les fonctions sont bien définies sur R, donc  est bien définie.
 
3- Puisque les fonctions u et v sont paires et π-périodiques, la fonction  l'est aussi.
 
4- Puisque  est paire et π-périodiques, il suffit de l'étudier sur le segment [0; π /2]. Puisque
et les fonctions G;H; u et v sont dérivables alors _ est dérivable sur [0; π /2] et
Or pour  et donc  De même  donc pour tout  on a
.
On en déduit que  est constante sur [0; π /2], puis sur [-π /2; 0] par parité, et enfin sur R par périodicité. Par suite
 
 



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