La solution d'exercice 5 - Exercices Corrigés d'Analyse II


1- L'application est une bijection de classe  sur R dont l'application réciproque est la fonction arctan x. Si y est de classe  sur R alors  est de classe  sur   pour tout . On calcule y’ et y’’ en fonction de z’ et z’’ :
D'où
Puisque, chercher une solution   équivaut à chercher une solution de

2- Le polynôme caractéristique de l'équation homogène
est qui admet deux racines complexes .Donc la solution générale de  s'écrit  
Pour déterminer la solution générale de (E’ ), on fait varier les constantes  en fonction de t sous la condition
En reportant  dans l'équation (E’) on obtient
Donc   sont solution du système
On obtient
Ceci donne
En écrivant

On on obtient

Conclusion : Les solutions de (E’) sont donc les fonctions de la forme
3- En remplaçant t = arctan x dans z(t), on obtient les solutions de (E)
On peut simplifier l'écriture précédente de y, puisque
( pour vérifier ces écritures, il suffit de calculer les dérivée de chaque membre ), alors
Donc les solutions y de (E) s'écrivent simplement
4- Cherchons  pour y(0) = 0 et y’ (0) = 1. D'abord
Puisque
on a en x = 0
Par suite la solution f de (E) sur IR avec les conditions initiales  est donnée par




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