les solutions des exercices corrigés sur le dénombrement
La solution d'Exercice 1 :
On considère les trois chiffres de ces nombres comme étant des cases où l'on peut placer l'un des neuf chiffres restants (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Il y a donc 9 choix possibles pour chacune des trois cases. Ainsi, le nombre total de nombres entiers compris entre 100 et 999 qui ne contiennent pas le chiffre 3 est égal à :
9 x 9 x 9 = 729
Il y a donc 729 nombres entiers compris entre 100 et 999 qui ne contiennent pas le chiffre 3.
La solution d'Exercice 2 :
Le choix du président peut se faire parmi les 8 personnes, celui du secrétaire parmi les 7 restantes (puisque le président ne peut pas être secrétaire) et celui du trésorier parmi les 6 personnes restantes. Ainsi, le nombre total de façons de choisir un président, un secrétaire et un trésorier dans un groupe de 8 personnes est égal à :
8 x 7 x 6 = 336
Il y a donc 336 façons de choisir un président, un secrétaire et un trésorier dans un groupe de 8 personnes.
La solution d'Exercice 3 :
Il y a 11 lettres dans le mot "STATISTIQUES", mais certaines lettres apparaissent plusieurs fois. Ainsi, on doit prendre en compte la fréquence de chaque lettre. On peut utiliser le principe fondamental du dénombrement, qui stipule que si une première étape peut être accomplie de m façons, et qu'une deuxième étape peut être accomplie de n façons indépendamment de la première étape, alors les deux étapes peuvent être accomplies de m x n façons.
Il y a 3 "S", 3 "T", 2 "I", 1 "Q" et 2 "U" dans le mot "STATISTIQUES". Le nombre total de mots différents que l'on peut former en utilisant ces lettres est donc égal à :
3 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 108
Il y a donc 108 mots différents que l'on peut former en utilisant les lettres de "STATISTIQUES".
La solution d'Exercice 4 :
Il y a 9 lettres dans le mot "ELECTIONS", mais la première lettre doit être un "E" et les deux "S" doivent être côte à côte. Ainsi, on peut traiter l'exigence de chaque condition séparément.
La première lettre doit être un "E". Il y a donc 1 choix possible pour la première lettre.
Les deux "S" doivent être côte à côte. On peut considérer ces deux "S" comme une seule lettre, de sorte que nous avons 8 lettres au total. Les deux "S" doivent être côte à côte, il y a donc 7 choix possibles pour la deuxième lettre.
Pour les 6 lettres restantes (I, O, N, T, L et C), il y a 6!/(2!2!) = 180 façons de les organiser, puisque les deux "E" et les deux "S" sont des lettres répétées.
Ainsi, le nombre total de mots différents que l'on peut former en utilisant les lettres de "ELECTIONS" si la première lettre doit être un "E" et les deux "S" doivent être côte à côte est égal à :
1 x 7 x 180 = 1260
Il y a donc 1260 mots différents que l'on peut former en utilisant les lettres de "ELECTIONS" si la première lettre doit être un "E" et les deux "S" doivent être côte à côte.
La solution d'Exercice 5 :
On peut traiter les deux livres qui doivent être ensemble comme un seul objet. Ainsi, nous avons 6 objets différents (les 5 livres restants et le groupe de 2 livres) à ranger sur l'étagère. Le nombre de façons de faire cela est 6! = 720. Cependant, il y a 2! = 2 façons de ranger les deux livres ensemble, donc le nombre total de façons est 720 x 2 = 1440.
Réponse : Il y a 1440 façons de ranger 7 livres différents sur une étagère si deux d'entre eux doivent être ensemble.
La solution d'Exercice 6 :
Le nombre de façons de choisir le premier chiffre est 6. Une fois que le premier chiffre est choisi, il reste 5 chiffres différents pour choisir le deuxième chiffre. Ensuite, il reste 4 chiffres différents pour choisir le troisième chiffre. Ainsi, le nombre total de nombres différents de trois chiffres que l'on peut former est 6 x 5 x 4 = 120.
Réponse : Il y a 120 nombres différents de trois chiffres qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6, sans répéter les chiffres.
La solution d'Exercice 7 :
Le nombre de façons de choisir une entrée est 4. Une fois que l'entrée est choisie, il reste 6 plats principaux différents à choisir. Ensuite, il reste 3 desserts différents à choisir. Ainsi, le nombre total de choix différents de repas est 4 x 6 x 3 = 72.
Réponse : Il y a 72 choix différents de repas qui peuvent être faits si chaque repas doit comprendre une entrée, un plat principal et un dessert.
La solution d'Exercice 8 :
Le nombre de façons de choisir 3 femmes parmi 6 est 6C3 = 20. Le nombre de façons de choisir 2 hommes parmi 4 est 4C2 = 6. Ainsi, le nombre total de comités différents qui peuvent être formés est 20 x 6 = 120.
Réponse : Il y a 120 comités différents qui peuvent être formés à partir d'un groupe de 10 personnes, composé de 6 femmes et 4 hommes, si le comité doit avoir exactement 3 femmes et 2 hommes.
La solution d'Exercice 9 :
Le nombre de façons de choisir la première chemise est 4 x 3 = 12 (4 choix de couleurs et 3 choix de tailles). Pour la deuxième chemise, il reste 3 couleurs différentes et 2 tailles différentes à choisir (car nous ne voulons pas répéter la couleur ou la taille de la première chemise), donc il y a 3 x 2 = 6 façons de la choisir. Ainsi, le nombre total de façons différentes d'acheter 2 chemises de couleurs différentes, chacune dans une taille différente est 12 x 6 = 72.
Réponse : Il y a 72 façons différentes d'acheter 2 chemises de couleurs différentes, chacune dans une taille différente, parmi les 4 couleurs et 3 tailles disponibles.
La solution d'Exercice 10 :
Le chiffre 1 doit apparaître deux fois, donc nous avons deux emplacements prédéfinis pour les chiffres 1. Le nombre de façons de choisir ces deux emplacements parmi les six emplacements possibles est 6C2 = 15. Pour chaque emplacement restant, il y a 5 choix possibles (car nous ne voulons pas répéter les chiffres), donc le nombre total de nombres différents qui peuvent être formés est 15 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5400.
Réponse : Il y a 5400 nombres différents de 6 chiffres qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6, sans répéter les chiffres et si le chiffre 1 apparaît deux fois.
La solution d'Exercice 11 :
Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème, mais voici une méthode possible : le nombre total de comités différents qui peuvent être formés est 8C4 = 70 (car nous choisissons 4 personnes parmi 8). Le nombre de comités qui ont exactement 2 femmes est 4C2 x 4C2 = 36 (car nous choisissons 2 femmes parmi les 4 femmes et 2 hommes parmi les 4 hommes). Le nombre de comités qui ont exactement 1 femme est 4C1 x 4C3 = 16 (car nous choisissons 1 femme parmi les 4 femmes et 3 hommes parmi les 4 hommes). Ainsi, le nombre de comités qui ont au moins 3 femmes est 70 - 36 - 16 = 18.
Réponse : Il y a 18 comités différents qui peuvent être formés si le comité doit avoir au moins 3 femmes, parmi un groupe de 8 personnes composé de 4 femmes et 4 hommes.
La solution d'Exercice 12 :
Le nombre de menus différents qui peuvent être composés est le produit du nombre de choix possibles pour chaque catégorie, soit 4 x 5 x 3 = 60.
Réponse : Il y a 60 menus différents qui peuvent être composés en choisissant un élément de chaque catégorie dans un restaurant proposant 4 options d'entrées, 5 options de plats principaux et 3 options de desserts.
La solution d'Exercice 13 :
Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème, mais voici une méthode possible : pour chaque boule, nous avons 3 choix possibles pour la boîte dans laquelle la placer. Ainsi, le nombre total de façons différentes de placer les 8 boules dans 3 boîtes distinctes est 3^8. Cependant, cela compte également les arrangements où une ou plusieurs boîtes sont vides, ce qui ne convient pas à la condition que chaque boîte doit contenir au moins une boule. Le nombre de façons de placer les 8 boules dans 2 boîtes distinctes est 2^8, car chaque boule a 2 choix possibles pour la boîte dans laquelle la placer. Nous pouvons calculer le nombre de façons de placer les 8 boules dans 3 boîtes distinctes en soustrayant le nombre de façons de placer les 8 boules dans 2 boîtes distinctes du nombre total de façons de placer les 8 boules dans 3 boîtes distinctes, soit 3^8 - 2^8 = 6561 - 256 = 6305.
Réponse : Il y a 6305 façons différentes de placer 8 boules identiques dans 3 boîtes distinctes si chaque boîte doit contenir au moins une boule.
La solution d'Exercice 14 :
Le jardinier peut disposer le premier plant de fleurs de 10 manières différentes, car il y a 10 emplacements possibles. Pour le deuxième plant de fleurs, il ne reste plus que 9 emplacements possibles. Pour le troisième plant de fleurs, il ne reste plus que 8 emplacements possibles, et ainsi de suite. Ainsi, le nombre total de façons différentes pour le jardinier de disposer les 5 plants de fleurs est :
10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240
Réponse : Il y a 30 240 façons différentes pour un jardinier de planter 5 plants de fleurs différents dans une rangée de 10 emplacements.
Le nombre de façons différentes pour diviser un groupe de 8 amis en deux équipes de 4 est le nombre de combinaisons de 4 éléments que l'on peut former avec un groupe de 8 éléments, soit :
C(8,4) = 70
où C(n,k) représente le nombre de combinaisons de k éléments que l'on peut former avec un groupe de n éléments. Cela correspond également à la moitié du nombre total de permutations de 8 éléments, car chaque équipe peut être permutée de 4! façons différentes sans changer la composition des équipes.
Réponse : Il y a 70 façons différentes de diviser un groupe de 8 amis en deux équipes de 4 pour un tournoi.
La solution d'Exercice 16 :
Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la technique de l'inclusion-exclusion. Tout d'abord, il y a 9! façons de placer les personnes autour de la table circulaire sans aucune restriction. Ensuite, nous devons soustraire le nombre de façons de placer les deux personnes interdites côte à côte. Il y a 10 façons de choisir l'une de ces deux personnes comme référence, et ensuite il y a 8! façons de placer les deux personnes de telle sorte qu'elles soient côte à côte. Cependant, cela compte également les arrangements où les deux personnes interdites sont placées aux extrémités de la table circulaire, donc nous devons ajouter le nombre de façons de placer les deux personnes interdites aux extrémités de la table circulaire. Il y a à nouveau 10 façons de choisir l'une de ces deux personnes comme référence, et ensuite il y a 7! façons de placer les deux personnes de telle sorte qu'elles soient placées aux extrémités. Ainsi, le nombre total de façons différentes de placer les 10 personnes autour de la table circulaire de telle sorte que deux personnes interdites ne soient jamais côte à côte est :
9! - 10 x(8! x 2!) + 10 x 7! = 2 972 800
Réponse : Il y a 2 972 800 façons différentes de placer 10 personnes autour d'une table circulaire de telle sorte que deux personnes interdites ne soient jamais côte à côte.
La solution d'Exercice 17 :
Il y a 5 façons de choisir un modèle de pantalon, 4 façons de choisir un modèle de chemise et 3 façons de choisir une paire de chaussures. Par le principe de multiplication, le nombre total de tenues différentes qui peuvent être créées est :
5 x 4 x 3 = 60
Réponse : Il y a 60 tenues différentes qui peuvent être créées en choisissant un pantalon, une chemise et une paire de chaussures dans un magasin qui propose 5 modèles de pantalons, 4 modèles de chemises et 3 modèles de chaussures.
La solution d'Exercice 18 :
Le carré peut être divisé en 2 x 2 carrés plus petits. Considérons d'abord les 2 x 2 carrés individuellement. Il y a 2 x 2 = 4 petits carrés dans chaque 2 x 2 carré, et chacun de ces petits carrés peut être colorié en rouge ou en bleu de telle sorte que deux carrés adjacents ne soient pas de la même couleur. Il y a donc 2^4 = 16 façons différentes de colorier chaque 2 x 2 carré.
Ensuite, il y a 4 2 x 2 carrés dans le carré plus grand, et chacun de ces carrés peut être colorié en 16 façons différentes. Cependant, il y a des contraintes entre les carrés adjacents. Par exemple, si les carrés en haut à gauche et en haut à droite sont coloriés en rouge, les carrés en bas à gauche et en bas à droite doivent être coloriés en bleu. Ainsi, nous pouvons diviser le problème en deux cas : le premier cas où les carrés en haut à gauche et en haut à droite sont coloriés en rouge, et le deuxième cas où ils sont coloriés en bleu.
Pour le premier cas, il y a 16 façons de colorier le carré en haut à gauche et 16 façons de colorier le carré en haut à droite. Cependant, cela détermine la couleur des carrés en bas à gauche et en bas à droite, donc il n'y a qu'une seule façon de les colorier. Ainsi, il y a 16 x 16 = 256 façons différentes de colorier les 4 carrés.
Pour le deuxième cas, il y a également 16 x 16 = 256 façons différentes de colorier les 4 carrés.
Enfin, il y a 2 options pour la couleur du carré en haut à gauche, donc le nombre total de façons différentes de colorier les 16 petits carrés de telle sorte que deux carrés adjacents ne soient pas de la même couleur est :
2 x (256 + 256) = 1024
Réponse : Il y a 1024 façons différentes de colorier chaque petit carré d'un carré divisé en 16 carrés plus petits de même taille de telle sorte que deux carrés adjacents ne soient pas de la même couleur.
La solution d'Exercice 19 :
Il y a 5 façons de choisir le premier chiffre (car il ne peut pas être zéro), 4 façons de choisir le deuxième chiffre (car nous ne pouvons pas répéter le chiffre choisi pour le premier chiffre), et 3 façons de choisir le troisième chiffre (car nous ne pouvons pas répéter les chiffres choisis pour les deux premiers chiffres). Par le principe de multiplication, le nombre total de nombres de trois chiffres différents qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 est :
5 x 4 x 3 = 60
Réponse : Il y a 60 nombres de trois chiffres différents qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5.
La solution d'Exercice 20 :
Il y a 7 façons de choisir le premier chiffre (car zéro est permis), 6 façons de choisir le deuxième chiffre (car nous ne pouvons pas répéter le chiffre choisi pour le premier chiffre), 5 façons de choisir le troisième chiffre (car nous ne pouvons pas répéter les chiffres choisis pour les deux premiers chiffres), et 4 façons de choisir le quatrième chiffre (car nous ne pouvons pas répéter les chiffres choisis pour les trois premiers chiffres). Par le principe de multiplication, le nombre total de nombres de quatre chiffres qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 si les chiffres ne peuvent pas être répétés est :
7 x 6 x 5 x 4 = 840
Réponse : Il y a 840 nombres de quatre chiffres qui peuvent être formés en utilisant les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 si les chiffres ne peuvent pas être répétés.
►Retour à l'exercice
Commentaires
Enregistrer un commentaire