La solution d'exercice 9 - Exercices Corrigés d'Analyse II

La fonction f est continue sur ]0; 1[. Au voisinage de 0 a droite on a , par suite

ainsi f se prolonge par continuité en 0 et donc intégrable sur [0; π /2], De même

La fonction log(1 - x) est intégrable sur [1/2; 1[. On en conclut que f est intégrable sur ]0; 1[.

 

2- Soit a et b tels que 0 < a < b < 1. En intégrant par parties, on obtient

 

Une décomposition en éléments simples donne

et donc

On regroupe les termes qui ont une limite infinie quand   :

qui tend vers 0 quand b tend vers 1. Finalement en faisant tendre a vers 0 et b vers 1, on obtient

   

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