La solution d'exercice 8 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1- Soit
.On effectue une intégration par parties en posant
On a alors
par suite
![](https://3.bp.blogspot.com/-IVbtmppKhbs/VyKmJHKY9uI/AAAAAAAAKIY/CEYQnofASk8ADTEvsw4Ca0zBaSp8ax5_QCLcB/s1600/image029.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-40bUW70wbb8/VyKmJBGD3OI/AAAAAAAAKIc/xVj3Aa4F92kSv542D1MFd1NMQgz2fN3IACLcB/s1600/image030.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-s0uxbFN8rf4/VyKmJa-H3CI/AAAAAAAAKIg/QD2r4DJAaQkvQB_DBypTH5VQDq000nAlACLcB/s1600/image031.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-RbV7OsHldhc/VyKmMGnIAsI/AAAAAAAAKJ4/YhMBF4TKuocCuREDDMQwH4MrWRpqiPW6wCLcB/s1600/image032.gif)
et donc
![](https://1.bp.blogspot.com/-UDDEcgDivGo/VyKmJjiV7jI/AAAAAAAAKIk/JR-2DQGqgPI6r0Z00yp_fDGnZGORF8fRACLcB/s1600/image033.gif)
1- En répétant l'intégration par parties p - 1 fois, on obtient
![](https://2.bp.blogspot.com/-mA8JIMLdvA4/VyKmJwSlvrI/AAAAAAAAKIo/9DbCesZhGWA6JBFO_SKCwgsUYkE4G5ddgCLcB/s1600/image034.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-A4ESID9-FbI/VyKmKMAjOnI/AAAAAAAAKIs/OPwsQ1rgDtoT4fXsS262HFb5TFg0GQGIwCLcB/s1600/image035.gif)
3- Faisons le changement de variables
qui est une bijection de classe
de [0; π /2] sur [0; 1], alors
On obtient alors
![](https://4.bp.blogspot.com/-FQBnozKIJdg/VyKmKPBmvHI/AAAAAAAAKIw/ZjAex8BLCm4wkks-6zcQFwxEMx84sEVigCLcB/s1600/image036.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-VUiq8UmIPdc/VyKmKdN0QcI/AAAAAAAAKI0/PY1369v86XAiy0q1bribd58iwBv8rPYrwCLcB/s1600/image037.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-2meOHEKbr1Y/VyKmKXjdsAI/AAAAAAAAKI4/UY4gCKd-k-IuqpVm1BfH6sAblj0KlhFRQCLcB/s1600/image038.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-qLKa3sT_r1M/VyKmLDk2B1I/AAAAAAAAKJM/mG0X29sRGjQQaxLDrvpxrlyf1XhjpzrIACLcB/s1600/image039.gif)
et par suite
![](https://4.bp.blogspot.com/-2Ssx53dPq5s/VyKmKonKiMI/AAAAAAAAKI8/K0efmFVIiAgURdeAX0dSM0RsBsAqVcWbACLcB/s1600/image040.gif)
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