La solution d'exercice 7 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1-Pour montrer que pour tout
:
![](https://1.bp.blogspot.com/-WTPw1417Akk/VyKmG-kP7sI/AAAAAAAAKHU/524b7RmN5B4WRsLY5iW-ZxCsbEDyhoFvACLcB/s1600/image011.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-TdnHQhydb0w/VyKmG8_zeDI/AAAAAAAAKHQ/8wFUURso3zUDgejaRis_JQp6j_ttvFK7wCLcB/s1600/image012.gif)
Il suffit de remarquer que
![](https://2.bp.blogspot.com/-zVbnQMAho6Q/VyKmHKvnuDI/AAAAAAAAKHY/VOll_cKZqiYVl-9uL5a7fJiiNzYN6zP7gCLcB/s1600/image013.gif)
et donc
![](https://1.bp.blogspot.com/-rHkpvbhyL44/VyKmHxRQpUI/AAAAAAAAKHw/1cPGSfpmQy4gZmxK77Jj9o2cMnAXWiorQCLcB/s1600/image014.gif)
2- Les fonctions
sont continues sur [0; 1]. On note G et H leurs primitives respectives qui s'annulent en 0.
![](https://4.bp.blogspot.com/-balyXU4q324/VyKmHH_rpkI/AAAAAAAAKHc/vZlNMJB8QVcDmYJdqCqxhgpg_nGIXPfBACLcB/s1600/image015.gif)
Comme les fonctions
sont a valeurs dans [0; 1], les fonctions
sont bien définies sur R, donc
est bien définie.
![](https://2.bp.blogspot.com/-XWu1SLYnqxU/VyKmHQzDF9I/AAAAAAAAKHg/Y5emDseTFAIOqU5tSBByNGHh3EzlgAdyACLcB/s1600/image016.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-baRPShL-di8/VyKmHtXBdnI/AAAAAAAAKHk/MUw4QjoLFHQFFKlwZOVOEaOLYc7q4WJkwCLcB/s1600/image017.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-PzsGbdhA3VY/VyKmHwWatcI/AAAAAAAAKHo/WMW2s-gWmLUXUsOb419jcn6OyBLUplAUQCLcB/s1600/image018.gif)
3- Puisque les fonctions u et v sont paires et π-périodiques, la fonction
l'est aussi.
![](https://4.bp.blogspot.com/-kFua8eFab40/VyKmH8vjERI/AAAAAAAAKHs/lz4ZqcH8aek3WecP2Bi-rwNsYBIXirQSACLcB/s1600/image019.gif)
4- Puisque
est paire et π-périodiques, il suffit de l'étudier sur le segment [0; π /2]. Puisque
![](https://3.bp.blogspot.com/-5N7L0jM4OsE/VyKmIDSEdKI/AAAAAAAAKH0/euoNs12UvL4xiyQuGOM4kmOa64pTKsGpQCLcB/s1600/image020.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-dZUOBXi0_d4/VyKmIKpu3zI/AAAAAAAAKH4/pzD10_c92isGwdh8Vk6okeq5AwRVec7_QCLcB/s1600/image021.gif)
et les fonctions G;H; u et v sont dérivables alors _ est dérivable sur [0; π /2] et
![](https://3.bp.blogspot.com/-gSiiIQCqACc/VyKmIUWrpBI/AAAAAAAAKH8/pYNLVUA2dtAz-vY2VUXEVw7F2Y_0WhmJgCLcB/s1600/image022.gif)
Or pour
et donc
De même
donc pour tout
on a
![](https://3.bp.blogspot.com/-hEwV73F8eqs/VyKmIUpvwdI/AAAAAAAAKIA/xwMbnhPsZXkpGfx4mYne2tLrCVKgvjhDACLcB/s1600/image023.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-RlmsFltJQXI/VyKmIlU8qEI/AAAAAAAAKIE/nLIGm3hTJMI3-CCwdjbq2SMFtiZ5p9LGACLcB/s1600/image024.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-Vtd2aGvz_vM/VyKmItfYV4I/AAAAAAAAKII/VZRx76eU9GUNJM5TRYnQ_O1af7HYd14LACLcB/s1600/image025.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/--8Tj3-CD2uo/VyKmI9bT9XI/AAAAAAAAKIM/YpR2JaSWM5EqaoIiL27OnN1Zz3P8ObXtgCLcB/s1600/image026.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-198kIR7LY6M/VyKmI0Sr6EI/AAAAAAAAKIQ/S2JhIiHDi9MVttCRpuRWZ4qpY6UQArmFgCLcB/s1600/image027.gif)
On en déduit que
est constante sur [0; π /2], puis sur [-π /2; 0] par parité, et enfin sur R par périodicité. Par suite
![](https://3.bp.blogspot.com/-5N7L0jM4OsE/VyKmIDSEdKI/AAAAAAAAKH0/euoNs12UvL4xiyQuGOM4kmOa64pTKsGpQCLcB/s1600/image020.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-0w5GoUpPRoE/VyKmJLyF41I/AAAAAAAAKIU/YdZ-y2Z5oH41klmbK0s_lvafaaYY4_VoACLcB/s1600/image028.gif)
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