La solution d'exercice 5 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1- L'application 
est une bijection de classe 
sur R dont l'application réciproque est la fonction arctan x. Si y est de classe 
sur R alors 
est de classe 
sur 
pour tout 
. On calcule y’ et y’’ en fonction de z’ et z’’ :
est une bijection de classe sur R dont l'application réciproque est la fonction arctan x. Si y est de classe sur R alors est de classe sur pour tout . On calcule y’ et y’’ en fonction de z’ et z’’ :
D'où
Puisque
, chercher une solution 
équivaut à chercher une solution de
, chercher une solution équivaut à chercher une solution de 
2- Le polynôme caractéristique de l'équation homogène
est 
qui admet deux racines complexes 
.Donc la solution générale de 
s'écrit
qui admet deux racines complexes .Donc la solution générale de s'écrit 
Pour déterminer la solution générale de (E’ ), on fait varier les constantes 
en fonction de t sous la condition
en fonction de t sous la condition
En reportant 
dans l'équation (E’) on obtient
dans l'équation (E’) on obtient 
Donc 
sont solution du système
sont solution du système
On obtient
Ceci donne
En écrivant
On on obtient
Conclusion : Les solutions de (E’) sont donc les fonctions de la forme
3- En remplaçant t = arctan x dans z(t), on obtient les solutions de (E)
On peut simplifier l'écriture précédente de y, puisque
( pour vérifier ces écritures, il suffit de calculer les dérivée de chaque membre ), alors
Donc les solutions y de (E) s'écrivent simplement
4- Cherchons 
pour y(0) = 0 et y’ (0) = 1. D'abord
pour y(0) = 0 et y’ (0) = 1. D'abord
Puisque
on a en x = 0
Par suite la solution f de (E) sur IR avec les conditions initiales 
est donnée par
est donnée par 
Commentaires
Enregistrer un commentaire