La solution d'exercice 5 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1- L'application
est une bijection de classe
sur R dont l'application réciproque est la fonction arctan x. Si y est de classe
sur R alors
est de classe
sur
pour tout
. On calcule y’ et y’’ en fonction de z’ et z’’ :
![](https://3.bp.blogspot.com/-2esBPs9yImA/VyJAOzNcSFI/AAAAAAAAKEA/WxsmCargtHMEFSiBdHnanaWETVhSxAXJgCLcB/s1600/image001.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-7We3RZOu_b0/VyJAO92YT3I/AAAAAAAAKEI/MGTZ7izgLAgk1xPqx9LEkCOpD3Tc7FOawCLcB/s1600/image002.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-nKrA7Sb_d_w/VyJAO76xrUI/AAAAAAAAKEE/_rxwKQYZVWwzaZ0tqgjU_XXUoBhtzjO-wCLcB/s1600/image003.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-HZiAV2gEpR4/VyJAPBY3k7I/AAAAAAAAKEM/o4zE56Ni5-QXOL1m7hopkyo6cJeFgiJMACLcB/s1600/image004.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-XMi52Z11nS8/VyJAPQW4_FI/AAAAAAAAKEQ/hzBFmIE6Jg4BDbJ5J5ZH5rtC6N2XDe19QCLcB/s1600/image005.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-nOhcgkBCuKo/VyJAPUiW0WI/AAAAAAAAKEU/08E1m_nuKjwCuMQmJUbYbt1RI2KJG2CYgCLcB/s1600/image006.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-Z4e-WlZunf4/VyJAPri-siI/AAAAAAAAKEY/kOCTc8CiRQQBRS58DId2MFMk5u4zbJq-gCLcB/s1600/image007.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-5O62vL6JT50/VyJAPhJ3mWI/AAAAAAAAKEc/TH_tNWHn6CMKhwVK3F3XYTEvuY_AQdTfACLcB/s1600/image008.png)
D'où
![](https://4.bp.blogspot.com/-WPFrZUCwaRE/VyJAP72StlI/AAAAAAAAKEg/CJpE1ApPzp4rqggBt941duIuOLm3N_uqQCLcB/s1600/image009.png)
Puisque
, chercher une solution
équivaut à chercher une solution de
![](https://1.bp.blogspot.com/-1s6iDbK_Bss/VyJAP6rvKwI/AAAAAAAAKEk/PapiPMO0wdcsO30a_BKFGh4030VrTOi6wCLcB/s1600/image010.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-6EnOQgtSI6w/VyJAPwiYEXI/AAAAAAAAKEo/B0bvpnWi6-sfxXNGZaif7JLihwVEdvE4ACLcB/s1600/image011.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-VCgJjUBWQX8/VyJAQI3rROI/AAAAAAAAKEs/UDWilE1KG3o8_7Vp6YVvnBxvQRMpRN_wwCLcB/s320/image012.png)
2- Le polynôme caractéristique de l'équation homogène
![](https://1.bp.blogspot.com/-kib7VvtmXLA/VyJAQdWMvjI/AAAAAAAAKEw/brn9_NSb94E250xE8oEaAzV7mDytxg1BACLcB/s1600/image013.png)
est
qui admet deux racines complexes
.Donc la solution générale de
s'écrit
![](https://4.bp.blogspot.com/-pigG9SVELKQ/VyJAQSLJLBI/AAAAAAAAKE0/chGcUtCYQAMQ7I6YRXe7cdzLDRJPXldewCLcB/s1600/image014.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-QOdbZ31WOSU/VyJAQeoB21I/AAAAAAAAKE4/A8n54YXhhqE-c8_3cBAdq4nmuDAEzovOgCLcB/s1600/image015.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-yphe8bnoRfg/VyJAQuu0UsI/AAAAAAAAKE8/BRS6NnIhGzMuDcddrhWhychHH1g5GcOIACLcB/s1600/image016.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-SrhPNIRyvBw/VyJAQwDX-EI/AAAAAAAAKFA/3_0rr3rkLOU5wDJbOUSRCc0GR1otc9JVACLcB/s1600/image017.png)
Pour déterminer la solution générale de (E’ ), on fait varier les constantes
en fonction de t sous la condition
![](https://1.bp.blogspot.com/-bvVccdbQwNs/VyJAQ5-daLI/AAAAAAAAKFE/_gQVZM2ePhopbHfZknVXGpwJbKWFYPsZACLcB/s1600/image018.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-GuiDv113xCg/VyJAQxlhQ7I/AAAAAAAAKFI/aF8Xm580FTEgn_ZxNYlU9qqXnImuuxfLgCLcB/s1600/image019.png)
En reportant
dans l'équation (E’) on obtient
![](https://3.bp.blogspot.com/-OEuaEtmjMO0/VyJARLdvThI/AAAAAAAAKFM/y0Ls04F4aPs28FyBvwcKgJvZY-sDv1prACLcB/s1600/image020.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-7XwXWdFwBQs/VyJARHWkR6I/AAAAAAAAKFQ/1VlW3mKSCnsETmCkvDrEkdtL-P5C-FbSgCLcB/s1600/image021.png)
Donc
sont solution du système
![](https://2.bp.blogspot.com/-jdXYAt83kSQ/VyJARTrsgAI/AAAAAAAAKFU/AJp6emT0GrETqcDKyLylBidXg1Yvf6BQwCLcB/s1600/image022.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-BDeNKAeMFlI/VyJARonRQGI/AAAAAAAAKFY/zvMzyhFHeJgmGOLvENBSc7tUVpdVnHzrQCLcB/s1600/image023.png)
On obtient
![](https://2.bp.blogspot.com/-p3jJeAU4O7g/VyJARs8JKwI/AAAAAAAAKFc/Z8xpZ74hJQwYunGu62oQsUgYyuEer3zzQCLcB/s1600/image024.png)
Ceci donne
![](https://4.bp.blogspot.com/-FjJaiWFxykE/VyJARtxx6uI/AAAAAAAAKFg/N8M0Fhcoq8IAeHqkHvHX9G2itA_xQwnJgCLcB/s1600/image025.png)
En écrivant
![](https://4.bp.blogspot.com/-wN9aV3kllbM/VyJAR62-ZeI/AAAAAAAAKFk/s3Ksp1kKup8eXRpO-9QGHXNipIun7n6rACLcB/s1600/image026.png)
On on obtient
![](https://4.bp.blogspot.com/-AMVKRcvrO0k/VyJASfsVelI/AAAAAAAAKFo/QcUejUViFS4s-gsqggETjpWyGjSvpVVeQCLcB/s1600/image027.png)
Conclusion : Les solutions de (E’) sont donc les fonctions de la forme
![](https://3.bp.blogspot.com/-2wmbtFaWWlM/VyJASeRXGuI/AAAAAAAAKFs/3YAG2jvG0ds8QKC1csl80JkCij9gqtFAQCLcB/s1600/image028.png)
3- En remplaçant t = arctan x dans z(t), on obtient les solutions de (E)
![](https://2.bp.blogspot.com/-AJmofpoqAO8/VyJASp6ngDI/AAAAAAAAKFw/iS5bqZ-pKTAKHw1ARNft-ifRkUbq8cnEwCLcB/s1600/image029.png)
On peut simplifier l'écriture précédente de y, puisque
![](https://3.bp.blogspot.com/-4oJMz8bJeE4/VyJASkyncqI/AAAAAAAAKF0/Vt4VB2Xg20wbsutlZLOM82VFsfHApaGfQCLcB/s1600/image030.png)
( pour vérifier ces écritures, il suffit de calculer les dérivée de chaque membre ), alors
![](https://2.bp.blogspot.com/-yqcdkKeXArA/VyJAS1vz5SI/AAAAAAAAKF4/FknV5HzdST0fO3NzkaXGmcIl2MzlJsHngCLcB/s1600/image031.png)
Donc les solutions y de (E) s'écrivent simplement
![](https://2.bp.blogspot.com/-SJoxypO1Yaw/VyJATLEz8BI/AAAAAAAAKF8/fk9LDdcJe1E2FTo4_Pxv3RHS4vMVfRXRgCLcB/s1600/image032.png)
4- Cherchons
pour y(0) = 0 et y’ (0) = 1. D'abord
![](https://2.bp.blogspot.com/-D4z60qqPnZc/VyJATIIfBoI/AAAAAAAAKGE/Ixd408x85rQL30DNwYjGMvcJEALg5Q2-ACLcB/s1600/image033.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-unwHEN-lBV8/VyJATCUbs1I/AAAAAAAAKGA/rBThDWJMx8Qn0kbclIbV95Lt-uWiMUq0QCLcB/s1600/image034.png)
Puisque
![](https://2.bp.blogspot.com/-j8Ahe0GpbvI/VyJATfua3LI/AAAAAAAAKGI/t6QF0x9nFzkP4UxL36LjUETAtNtKaHwqQCLcB/s1600/image035.png)
on a en x = 0
![](https://4.bp.blogspot.com/-UYMgiPTim3U/VyJATuAjRZI/AAAAAAAAKGM/TiHr33z9FsMDQprSnj1-CiYcmVfaHZgpQCLcB/s1600/image036.png)
Par suite la solution f de (E) sur IR avec les conditions initiales
est donnée par
![](https://4.bp.blogspot.com/-c-qf2LMUv18/VyJATksbvyI/AAAAAAAAKGQ/hg8rxoFOmRgRFe5pkjgX-0eGJaKUdU3_wCLcB/s1600/image037.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-MQkSRMjotM4/VyJAT-nBziI/AAAAAAAAKGU/Fs7K_fHQcFEOe-H-1wkmW18PTrixA4OdQCLcB/s1600/image038.png)
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