La solution d'exercice 4 - Exercices Corrigés d'Analyse II

1- la fonction  est continue sur ]0; 1[. De plus si   et

Donc

Et   est intégrable au voisinage de 1 si et seulement si .

Pour l'intégrabilité en 0, on écrit

Le deuxième intégrale converge si . pour la première, on fait le changement de variables  on obtient

qui est une intégrale de Bertrand. Elle converge si et seulement si .

En conclusion l'intégrale  converge si et seulement si  car dans le cas  les deux conditions, obtenues pour chacune des bornes sont simultanément impossibles…

2- Puisque   est intégrable sur ]0; 1[ et  est une bijection de classe  de sur ]0; 1[,ce premier changement de variables donne

On effectue le deuxième changement de variables qui est bijective et de classe dans lui même, on obtient

3- Soit , une intégration par parties donne

Par récurrence

D'où

∎ Retour Aux Énoncés