La solution d'exercice 4 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1- la fonction
est continue sur ]0; 1[. De plus si
et ![](https://2.bp.blogspot.com/-CfLrGEUH8MY/VyI0F5IYS3I/AAAAAAAAKCI/8g6YUvNwtws4kBAfzc3o-pxi_wy9cPhiACLcB/s1600/image003.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-AfTwxSYD0nY/VyI0FvLm33I/AAAAAAAAKCE/QeC4kUXDVtcEmZiiatdDs_lAqAk0yjhmwCLcB/s1600/image001.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-B4yGEmiTApw/VyI0Fgp6SzI/AAAAAAAAKCM/EsaUtnUam3Ecy-S0pKHbqK1fAT6RuSEpQCLcB/s1600/image002.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-CfLrGEUH8MY/VyI0F5IYS3I/AAAAAAAAKCI/8g6YUvNwtws4kBAfzc3o-pxi_wy9cPhiACLcB/s1600/image003.png)
Donc
![](https://2.bp.blogspot.com/-q_auIpwaHoI/VyI0GPHebgI/AAAAAAAAKCQ/MswRrKNmD5sJyEqXF3ptkgC1oILxu0ziQCLcB/s1600/image004.png)
Et
est intégrable au voisinage de 1 si et seulement si
.
![](https://1.bp.blogspot.com/-1rsrEgpyP8U/VyI0GO4hG0I/AAAAAAAAKCU/gup5M4yryPs05epvSx6PGhNvAJUmEnipQCLcB/s1600/image005.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-vc_UOq-Ua1c/VyI0GVH68nI/AAAAAAAAKCY/mR6hBeGwJYorgw81mzzFY7DMdTmr0-YTwCLcB/s1600/image006.png)
Pour l'intégrabilité en 0, on écrit
![](https://3.bp.blogspot.com/-GzzNhEQGO5c/VyI0GlVzLJI/AAAAAAAAKCg/_9_b2O7NB2Y_JcBPRfm8VRK4wIOyPEgcQCLcB/s1600/image007.png)
Le deuxième intégrale converge si
. pour la première, on fait le changement de variables
on obtient
![](https://3.bp.blogspot.com/-Z3e29UWXFhM/VyI0Gl_wwzI/AAAAAAAAKCc/8kC65Z60rBcermx2jN2DXJcXpKiMkYxHQCLcB/s1600/image008.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-_8nnhykeztk/VyI0G74Z4fI/AAAAAAAAKCk/4FHrdmpYGAEDA8UgIuh_SpXQI0ewUOPogCLcB/s1600/image009.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-hw4-RgYwZ24/VyI0HFyU5eI/AAAAAAAAKCo/mUy0pf0NlOc0C3Hilk5XxUO7aFVrZMqpgCLcB/s1600/image010.png)
qui est une intégrale de Bertrand. Elle converge si et seulement si
.
![](https://3.bp.blogspot.com/-gr_ipp5Pu0Y/VyI0HSYhXKI/AAAAAAAAKCw/h1Rqadz9QyUCx6UiKlntyPYKBsHnkg_CwCLcB/s1600/image011.png)
En conclusion l'intégrale
converge si et seulement si
car dans le cas
les deux conditions
, obtenues pour chacune des bornes sont simultanément impossibles…
![](https://2.bp.blogspot.com/-YQqqQj6zjqU/VyI0Hdio5tI/AAAAAAAAKCs/4O8vqhdIsGkCahN6pZ79YUnZ6WWsrG2vwCLcB/s1600/image012.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-j0nKNwZ2q8k/VyI0Hv0XP3I/AAAAAAAAKC0/CTbdStwG8boV0B4UJvc9chq3HW4e1G2yQCLcB/s1600/image013.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-zjPGU9DrRjU/VyI0Hhsx1JI/AAAAAAAAKC4/0qHhHzpSLh8mtVSiY45NmJEhEen26J6SQCLcB/s1600/image014.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-Ju7iAy3KqI8/VyI0H_4hMZI/AAAAAAAAKC8/CAiL1Z_GytkCOlhVkwRq4xJn7uAb4lPPgCLcB/s1600/image015.png)
2- Puisque
est intégrable sur ]0; 1[ et
est une bijection de classe
de
sur ]0; 1[,ce premier changement de variables donne
![](https://1.bp.blogspot.com/-sJcg7RrrMpg/VyI0IMMOUwI/AAAAAAAAKDE/m4eY-8xqgnke23gA7j7fOwl3C7qPJVuFwCLcB/s1600/image016.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-9FPZYf7zj3g/VyI0IHbzY5I/AAAAAAAAKDA/ZpeXakYANoANuI2B8a0ww9IJLLgJV3MJACLcB/s1600/image017.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-cPGOYb6MWQE/VyI0IchHhoI/AAAAAAAAKDI/OrRMtbsxKtApiU0HLWS3c7ujIzvRUROUgCLcB/s1600/image018.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-flflLqieZ3M/VyI0IYwAEWI/AAAAAAAAKDM/GTessXRVEkIIejWKbHe9EooBf8xxzYeDQCLcB/s1600/image019.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-7L4XkmJcWio/VyI0IorA5dI/AAAAAAAAKDQ/j71YOuJeyYoEhJOAoJiRawqKquGNMJg1wCLcB/s1600/image020.png)
On effectue le deuxième changement de variables
qui est bijective et de classe
dans lui même, on obtient
![](https://2.bp.blogspot.com/-FTo8FwpCKHM/VyI0IgGvJkI/AAAAAAAAKDY/etsqhadk4vI3iBZOZ4uBoUf_mThACbc9ACLcB/s1600/image021.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-C2xJobWC4yQ/VyI0Ik19jRI/AAAAAAAAKDU/KWryAeazjxYGjLjEqngti1_M75wugJs4ACLcB/s1600/image022.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-b-Yov-Tsnf0/VyI0JKyCeLI/AAAAAAAAKDc/WXoV65FlJMAbAFUxb6s2I8tD_22vIqrDACLcB/s1600/image023.png)
3- Soit
, une intégration par parties donne
![](https://2.bp.blogspot.com/-TGkWfuMckaY/VyI0JJa-05I/AAAAAAAAKDk/GTdYzNK_Bz80CXwEDs9thzpGvWnmFj26QCLcB/s1600/image024.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-jXKOChNsBUc/VyI0JaJfAFI/AAAAAAAAKDg/jODRfbPa5Mw0s3rSuupiUn6tdSCKAAjVgCLcB/s1600/image025.png)
Par récurrence
![](https://2.bp.blogspot.com/-294se_xfyVA/VyI0JnWX4dI/AAAAAAAAKDo/j3PI5wKAEDktFmtBfMQvPp8Xvrcs9vClQCLcB/s1600/image026.png)
D'où
![](https://2.bp.blogspot.com/-bsqGgIduGts/VyI0J8maJsI/AAAAAAAAKDs/-g_netSPkdcHB1gwMI6QiBgvDO_6G2k9QCLcB/s1600/image027.png)
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