La solution d'exercice 3 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1- Montrons que f est dérivable en 0. En effet
![](https://4.bp.blogspot.com/-h6zBCXXQP2w/VyIq9emGFjI/AAAAAAAAKAY/nNtELEp-eus4-XvmH1PNaDd3Da5Cyj8UACLcB/s1600/image001.png)
la fonction f est trivialement impaire.
2- Un calcul simple donne
![](https://1.bp.blogspot.com/-1feEeHR0_BQ/VyIq9SMHahI/AAAAAAAAKAc/IJVNnsX3tyUprCYZt-Z11WtzMjUmBr5xACLcB/s1600/image002.png)
3- Le signe de f’(x) est le même que celui de la fonction
. Cette dernière est dérivable et
![](https://3.bp.blogspot.com/-H1nn3vM1HtQ/VyIq9TcIw1I/AAAAAAAAKAg/HWwhvHL2r5whjgnfGCHmXxuCTNd372MgQCLcB/s1600/image003.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-BkLbNfgE-4g/VyIq9ohBmgI/AAAAAAAAKAk/T-5wkmubT9g9XU8GCxk9NNBlnkWTNjpegCLcB/s1600/image004.png)
Donc h’ (x) est du même signe que x. Ainsi, h est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
. Puisque h(0) = 0, on en déduit que h est h est strictement positive sur IR* et aussi f’ est strictement positive sur R_. Or f’ (0) = 1 > 0, par suite f’(x) > 0 pour tout
. en conclut que f est strictement croissante sur R. de plus
![](https://1.bp.blogspot.com/-VfOa8quc1JQ/VyIq96IZGpI/AAAAAAAAKAo/J15EhRq9tjo-sik0TdGnZMJAt2EYa0pLwCLcB/s1600/image005.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-k9CLylHp4Tk/VyIq90mOJYI/AAAAAAAAKAs/D1jdWWNFSCsVsQXnQ2QlNji6kaqnhf2dgCLcB/s1600/image006.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-P2qhXS7T3RE/VyIq-AXoS0I/AAAAAAAAKAw/4ExSPn_mdfIV_M07YkMsVLxzj34Oy9baQCLcB/s1600/image007.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-hJQM1eykOlM/VyIq-N0sCTI/AAAAAAAAKA0/8ijxrfo5aLUyUwUxjaKCbaR7ohD9CUTNwCLcB/s1600/image008.png)
Donc
par parité. D'après le théorème de la fonction réciproque f est une application bijective de R sur R et f1 est aussi continue.
![](https://3.bp.blogspot.com/-7BCPBqx4yvs/VyIq-UbdozI/AAAAAAAAKA4/UpfmGI-zt4ktvHWgb-YtPStR4naxNXFOwCLcB/s1600/image009.png)
4- Comme f est de classe
au voisinage de 0 et que
, alors
et de classe
au voisinage de f(0) = 0, donc admet des développement limités de tous ordre. Par ailleurs la fonctions f est impaire, donc
est également impaire. La fonction
admet donc un développement limité au voisinage de 0 de la forme :
![](https://3.bp.blogspot.com/-_1r4KRvaLh0/VyIq-aoxFcI/AAAAAAAAKA8/yH4oGz-g_BwfDCm7W7wJMMvjTf6ip4sJACLcB/s1600/image010.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-D5Ux5S3TE6A/VyIq-pmKv9I/AAAAAAAAKBA/DbJ86ONO4OM9YF63b5D8qaOPSdXAkAAIwCLcB/s1600/image011.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-FTDY2tYeYKk/VyIq-nFYReI/AAAAAAAAKBE/TJxndNWJjMgK2VEVUxqcMPoJQ_p1OznJACLcB/s1600/image012.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-vXuIUnJKlqE/VyIq-q7OS8I/AAAAAAAAKBI/-d5-a9JTHe8eiYUrAIXOlaFrp19rQEroQCLcB/s1600/image013.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-FTDY2tYeYKk/VyIq-nFYReI/AAAAAAAAKBE/TJxndNWJjMgK2VEVUxqcMPoJQ_p1OznJACLcB/s1600/image012.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-FTDY2tYeYKk/VyIq-nFYReI/AAAAAAAAKBE/TJxndNWJjMgK2VEVUxqcMPoJQ_p1OznJACLcB/s1600/image012.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-e5wWQzSVN2U/VyIq-748CHI/AAAAAAAAKBM/ffwH3wAy4-gVggGEwJG6E79VXTTJ22eOgCLcB/s1600/image014.png)
On détermine a; b et c : puisque
![](https://2.bp.blogspot.com/-zynK4GLotGI/VyIq_N9sthI/AAAAAAAAKBQ/A00M2Q2QDSAHcy4xw_Dj05eg7M9e0rkbACLcB/s1600/image015.png)
On a
![](https://4.bp.blogspot.com/-72KhV9-Qywc/VyIq_KFTfTI/AAAAAAAAKBU/W71pGNEocPsPkf3SoWCvZaDKkdn7iW8lACLcB/s1600/image016.png)
par suite
![](https://1.bp.blogspot.com/-87Mq23Toq6U/VyIq_BHMhpI/AAAAAAAAKBY/pA9qlGMIBmYXkr_o14O27_yNDpmM09BHwCLcB/s1600/image017.png)
Et
![](https://4.bp.blogspot.com/-DP-v5LB6W2Y/VyIq_b4eiDI/AAAAAAAAKBc/Tq1bMS1MT_gEKdt1PFj52AuyIncUEHNDQCLcB/s1600/image018.png)
Or
![](https://4.bp.blogspot.com/-nRNgjYM7Ydk/VyIq_quL5EI/AAAAAAAAKBg/S1f77PZ3wVUXRNeWi9ui5DtMsuGxs8arwCLcB/s1600/image019.png)
D'ou
![](https://4.bp.blogspot.com/-xZYTDi4Qdpo/VyIq_0LthcI/AAAAAAAAKBo/xuMrdHHsQ50IfNJX8RNUY1ZgTd4irGcHACLcB/s1600/image020.png)
D'autre par
. Ainsi, par unicité du développement limité, on obtient le système :
![](https://1.bp.blogspot.com/-pu7jjQQtOcY/VyIq_ocDToI/AAAAAAAAKBk/jcwTDm5qgJ8iEa9K54tnSfd3qiwKsBfUwCLcB/s1600/image021.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-CqikkBApvSk/VyIq_y_tUdI/AAAAAAAAKBs/okPJHHsQXgUzuDhX162UAAel8CVykZuIwCLcB/s1600/image022.png)
d'où l'on tire b = -1/2 et c = 7/12. On a finalement
![](https://4.bp.blogspot.com/-4OG_U9KgAFs/VyIrABDfN5I/AAAAAAAAKBw/c_lTpPcjj_kx3gNk3Aym5zrz39x_cHP1gCLcB/s1600/image023.png)
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