La solution d'exercice 2 - Exercices Corrigés d'Analyse II
Si
:
Supposons que
![](https://4.bp.blogspot.com/-o1Hu9gJTU74/Vx-viDGJGkI/AAAAAAAAJ_Y/WviXnbJOMF0wltOoAcjrCw43VxrxMUkbACLcB/s1600/image001.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-bXkxMpHWiBQ/Vx-viTb1ECI/AAAAAAAAJ_c/nIEMEmFmpdQwfQbhOnwratKCiseT9h7bQCLcB/s1600/image002.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-7WsmDaZUF0c/Vx-viRMCIsI/AAAAAAAAJ_g/F3VVelLxI4I3LWtr2OdQdD-ZC2XhQevKQCLcB/s1600/image003.png)
Alors
![](https://1.bp.blogspot.com/-4FoSGThtLaM/Vx-vinzcvFI/AAAAAAAAJ_k/iKjfWMVUwM0VLc41BvVYONdk6UGityGxwCLcB/s1600/image004.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-l1YFVBxIGOA/Vx-viuqD9YI/AAAAAAAAJ_o/t475_yFLBJEuRtppr00ylUNq9yp6WhiiwCLcB/s1600/image005.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-IcvwCH4d95A/Vx-vi2POHiI/AAAAAAAAJ_s/uwbwsx8o9rkquMjdkVoTJp1jvVUO0o6qACLcB/s1600/image006.png)
Donc toutes les dérivées au point 0 existent et sont nulles. Par suite f se prolonge de manière
en 0 at f est donc indéfiniment dérivable sur R. De plus au voisinage de 0 f admet des développement limités de tout ordre :
![](https://2.bp.blogspot.com/-AHaMFlOjN8I/Vx-vi2sTG6I/AAAAAAAAJ_w/04yvtdbGuXkhf2QMoYda-_G23EvY2daRACLcB/s1600/image007.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-BRCVPvBDimg/Vx-vjHoyNeI/AAAAAAAAJ_0/AJ-lRlDhogA5a7Hmmr7axRfAX7hTHTlUwCLcB/s1600/image008.png)
donc au voisinage de 0 :
![](https://1.bp.blogspot.com/-uwc5tZ6d9zE/Vx-vjVq9J8I/AAAAAAAAJ_4/FtjKj_AdQLEGSfPghzeObwFoMuRaoAOJACLcB/s1600/image009.png)
Donc g admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0. De plus g est indéfiniment dérivable sur R* et
![](https://2.bp.blogspot.com/-KARo3HQL8XE/Vx-vjc4aDmI/AAAAAAAAJ_8/MDHFt8-rw_Yct4TSNrnSiSdG8sobj1MEwCLcB/s1600/image010.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-n13nJjpIIMg/Vx-vjlYcbhI/AAAAAAAAKAA/bk4Hkfp95pEESC_xYxopmkbE8i4uVHXjACLcB/s1600/image011.png)
Mais la dérivée g’ de g n'est pas continue en 0 car
![](https://2.bp.blogspot.com/-01zVfHE3ac4/Vx-vjpNUxVI/AAAAAAAAKAI/N3rW8xEhfesxqO-DQxoAo9X5iOAOlkGOQCLcB/s1600/image012.png)
qui n'a pas de limite _nie en 0. Ainsi g admet un développement limité à tout ordre et g’ n'admet de développement limité à aucun ordre i.e g ne peut être de classe
sur IR.
![](https://2.bp.blogspot.com/-f46fFRS4CaE/Vx-vj5MxUMI/AAAAAAAAKAE/YSgOGPwTu1wmfcK31Jxr6jjCT2l7GT5jgCLcB/s1600/image013.png)
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