EDP elliptiques d’ordre 2
Soit Ω un ouvert borné de IRn , de frontière ∂Ω assez régulière. Soient des fonctions aij(1 ≤ i,j ≤ n)
dans C1(Ω¯ ) et a0 dans C0(Ω¯ ). On considère le problème :
ou` Γ0 et Γ1 forment une partition de ∂Ω ( Γ0 ∩ Γ1 = ∅ et Γ0 ∪ Γ1 = ∂Ω).
Une solution classique de (P), sous l’hypothèse que f ∈
C0(Ω¯ ) et g ∈
C0(Γ1), sera une
fonction de C2(Ω¯ ) vérifiant l’équation en chaque point de Ω.
fonction de C2(Ω¯ ) vérifiant l’équation en chaque point de Ω.
La formulation variationnelle de (P) est obtenue par intégration par parties. Elle s’´ecrit :
avec V = v ∈ H1(Ω) , v = 0 sur Γ0. Cette formulation est en fait définie d`es lors que a0 et les aij sont
dans L∞(Ω), f dans L2(Ω) et g dans L2(Γ1).
Posons
Il est immédiat que a est une forme bilinéaire continue et l une forme linéaire continue sur V . Si l’EDP de départ (2.9) vérifie les deux hypothèses d’ellipticité :
Par application du théorème de Lax-Milgram, on a donc existence et unicité d’une solution à la formulation variationnelle (Q) :