Cours et Exercices

1 Maillage 2 Assemblage de la matrice du système . 3 Formules de quadrature 1 Définitions 2 Quadrature en 1-D 3 Quadrature en 2-D triangulaire 4 Domaines à frontière courbe

1 Calcul de majoration d’erreur 1 Etape 1: majoration par l’erreur d’interpolation 2 Etape 2: Décomposition sur les éléments 3 Etape 3: Passage à l’élément de r´ef´erence 4 Etape 4: Majoration sur l’élément de référence 5 Etape 5: Assemblage des majorations locales 6 Résultat final 2 Quelques commentaires

1 Classe d’un élément fini 2 Éléments finis d’Hermite 2.1 Définitions 2.2 Lien avec les éléments finis de Lagrange .  2.3 Fonctions de base globales 3 Exemples 3.1 Exemples 1-D 3.2 Exemples 2-D triangulaires 3.3 Exemple 2-D rectangulaire

1 Unisolvance 2 Elément fini de Lagrange 3 Exemples d’éléments finis de Lagrange 1 Espaces de polynômes 2 Exemples 1-D 3 Exemples 2-D triangulaires 4 Exemples 2-D rectangulaires 5 Exemples 3-D 4 Famille affine d’éléments finis 5 Du problème global aux éléments locaux

Définition : Un élément fini de Lagrange est un triplet (K,Σ,P) tel que • K est un élément géométrique de IR n (n = 1, 2 ou 3), compact, connexe, et d’intérieur non vide. • Σ = { a 1 , . . . , a N } est un ensemble fini de N points distincts de K. • P est un espace vectoriel de dimension finie de fonctions réelles définies sur K, et tel que Σ soit P-unisolvant (donc dim P = N). Définition : Soit (K,Σ,P) un élément fini de Lagrange. On appelle fonctions de base locales de l’élément les N fonctions p i (i = 1, . . . ,N) de P telles que   p i ( a i ) = δ ij             1 ≤ i,j ≤ N.           (3.2) On vérifie aisément que ( p 1 , . . . , p N ) ainsi définie forme bien une base de P. Définition : On appelle opérateur de P-interpolation sur Σ l’opérateur π k qui, à toute fonction v définie sur K, associe la fonction π k v de P définie par est donc l’unique élément de P q...

Définition : Soit Σ = { a 1 , . . . , a N } un ensemble de N points distincts de IR n . Soit P un espace vectoriel de dimension finie de fonctions de IR n   à valeurs dans IR. On dit que Σ est P-unisolvant ssi pour tous réels α 1 , . . . ,α N , il existe un unique élément p de P tel que p( a i i) = α i , i = 1, . . . ,N. Ceci revient à dire que la fonction : est bijective. En pratique, on montrera que Σ est P-unisolvant en vérifiant que dim P = Card Σ, puis en montrant l’injectivité ou la surjectivité de L . L’injectivité de L se démontre en établissant que la seule fonction de P s’annulant sur tous les points de Σ est la fonction nulle. La surjectivité de L se démontre en exhibant une famille p 1 , . . . , p N   d’éléments de P tels que p i ( a j )=δ ij , c’est à dire un antécédent pour L de la base canonique de IR n . En effet, étant donnés des réels α 1 , . . . ,α N , la fonction 

1. Principe général Soit Ω un domaine ouvert de I R n   (n = 1,2 ou 3 en pratique), de frontière ∂Ω, et sur lequel  on cherche à résoudre une équation aux dérivées partielles, munie de conditions aux limites. En écrivant la formulation variationnelle, on obtient un problème de la forme (Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V           ou V est un espace de Hilbert. Sous réserve que l’équation de départ ait de bonnes propriétés, c’est à dire par exemple qu’on soit dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, (Q) admet une solution unique u. Pour obtenir une approximation numérique de u, on va maintenant remplacer l’espace V qui est en g´en´eral de dimension infinie par un sous-espace V h de dimension finie, et on va chercher `a résoudre le problème approché   ( Q h )          Trouver   u h   ∈ V h    tel   que   a ( u h ,v h ) = l ( v h ) , ...

Soit Ω un ouvert borné de I R n   , de frontière ∂Ω assez régulière. Soient des fonctions a ij ( 1 ≤ i,j ≤ n ) dans C 1 ( Ω ¯   ) et a 0     dans C 0 ( Ω ¯   ). On considère le problème : o u ` Γ 0     et Γ 1     forme n t une partition de ∂ Ω ( Γ 0   ∩ Γ 1     = ∅ et Γ 0   ∪ Γ 1     = ∂ Ω). Une solution classique de (P), sous l’hypothèse que     f   ∈ C 0 ( Ω ¯   ) et   g   ∈ C 0 (Γ 1 ) ,   s era une   fonction de C 2 ( Ω ¯   )   vérifiant l’équation en chaque point de Ω. La formulation variationnelle de (P) est obtenue par intégration par parties. Elle s’´ecrit : a v ec V   = v     ∈ H 1 (Ω ) , v = 0 sur Γ 0 .   Cette formulation est en fait définie d ` e s lors q ue a 0 et les a ij sont dans L ∞ (Ω), f dans L 2 (Ω) et g dans L 2 (Γ 1 ...