Cours et Exercices

  Introduction à la méthode des éléments finis   ►1. Formulation variationnelle        Exemple 1-D       Exemple 2-D       Formulation générale ►2. Existence et unicité de la solution        Continuité      Théorème de Lax-Milgram      Retour à l’exemple 1-D      Remarque: condition inf-sup ►3. EDP elliptiques d’ordre 2   ►4. Approximation interne        Principe général      Interprétation de u h        Estimation d’erreur ►5. Principe général de la méthode des éléments finis   ►6. Retour `a l’exemple 1-D ►Voir le cours complet

On reprend le problème 1-D (2.1). On a écrit sa formulation variationnelle (cf §2.1.1) et montré (cf §2.2.3) qu’elle admet une solution unique. On peut maintenant construire un maillage de [a,b] en définissant une subdivision (pas nécessairement régulière) a = x 0 < x 1   < . . . < x N   < x N+1 = b. Définissons alors l’espace V h , sous-espace de H 0 1 (a,b) de dimension finie, par : V h = {v h ∈ C 0 (a,b) / v h affine sur chaque segment [ x j , x j+1 ] et v h (a) = v h (b) = 0} Le problème approché sur V h est : ( Q h ) Trouver u h ∈ V h tel que a( u h , v h ) = l( v h ), ∀ v h ∈ V h En remarquant qu’une fonction de V h est entièrement déterminée par ses valeurs en x 1 , . . . , x N , on établit que la dimension de V h est N, et qu’une base de V h est par exemple (ϕ1, . . . ,ϕN), ou ϕi est définie par ϕi( x j ) =δ ij   , j = 1, . . . ,N (δ ij   est ici le symbole de Kronecker). ϕi est donc la fonction “chapeau” représentée sur la figur...

La démarche générale de la méthode des éléments finis est la suivante. On a une EDP résoudre sur un domaine Ω. On écrit la formulation variationnelle de cette EDP, et on se ramène donc à un problème du type (Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V On va chercher une approximation de u par approximation interne. Pour cela, on définit un maillage du domaine Ω, grâce auquel on va définir un espace d’approximation V h , s.e.v. de V de dimension finie N h (par exemple V h sera l’ensemble des fonctions continues sur Ω et affines sur chaque maille). Le problème approché est alors ( Q h )         Trouver  u h   ∈ V h    tel  que  a ( u h , v h ) = l ( v h ) ,     ∀ v h ∈ V h Soit ( ϕ 1 , . . . ,ϕ N h ) une base de   V h .   En décomposant u h     sur cette base sous la forme le problème ( Q h ) devie n t  ou encore par linéarité de ...

1. Principe général Soit Ω un domaine ouvert de I R n   (n = 1,2 ou 3 en pratique), de frontière ∂Ω, et sur lequel  on cherche à résoudre une équation aux dérivées partielles, munie de conditions aux limites. En écrivant la formulation variationnelle, on obtient un problème de la forme (Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V           ou V est un espace de Hilbert. Sous réserve que l’équation de départ ait de bonnes propriétés, c’est à dire par exemple qu’on soit dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, (Q) admet une solution unique u. Pour obtenir une approximation numérique de u, on va maintenant remplacer l’espace V qui est en g´en´eral de dimension infinie par un sous-espace V h de dimension finie, et on va chercher `a résoudre le problème approché   ( Q h )          Trouver   u h   ∈ V h    tel   que   a ( u h ,v h ) = l ( v h ) , ...

Soit Ω un ouvert borné de I R n   , de frontière ∂Ω assez régulière. Soient des fonctions a ij ( 1 ≤ i,j ≤ n ) dans C 1 ( Ω ¯   ) et a 0     dans C 0 ( Ω ¯   ). On considère le problème : o u ` Γ 0     et Γ 1     forme n t une partition de ∂ Ω ( Γ 0   ∩ Γ 1     = ∅ et Γ 0   ∪ Γ 1     = ∂ Ω). Une solution classique de (P), sous l’hypothèse que     f   ∈ C 0 ( Ω ¯   ) et   g   ∈ C 0 (Γ 1 ) ,   s era une   fonction de C 2 ( Ω ¯   )   vérifiant l’équation en chaque point de Ω. La formulation variationnelle de (P) est obtenue par intégration par parties. Elle s’´ecrit : a v ec V   = v     ∈ H 1 (Ω ) , v = 0 sur Γ 0 .   Cette formulation est en fait définie d ` e s lors q ue a 0 et les a ij sont dans L ∞ (Ω), f dans L 2 (Ω) et g dans L 2 (Γ 1 ...

1. Continuité Soient V et W des espaces de Hilbert. Définition : Une forme linéaire l(u) sur V est continue si il existe une constante K telle que |l(u)| ≤ K ||u||V ∀u∈ V . Définition : Une forme bilinéaire a(u,w) sur V ×W est continue si il existe une constante M telle que |a(u,w)|≤ M ||u||V ||w||W ∀(u,w) ∈ V × W . 2. Théorème de Lax-Milgram On va introduire ici un outil important pour assurer l’existence et l’unicité de solutions `a la formulation variationnelle de problèmes aux limites de type elliptique. On se place dans le cas W = V .  Définition : Une forme bilinéaire a(u,v) sur V ×V est coercive (ou V-elliptique) si il existe une constante α > 0 telle que a(u,u) ≥ α ||u||², ∀u ∈ V . Théorème : (Lax-Milgram) Soit V un espace de Hilbert. Soit a une forme bilinéaire continue coercive sur V . Soit l une forme linéaire continue sur V . Alors il existe un unique u∈V tel que a(u,v) = l(v), ∀v∈V . (et de plus, l’application linéaire l → u est continue...