Cours sur les suites et les séries - Mathématiques
Cours sur les suites et les séries
COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES
1. Suites1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe
Nous avons souhaité dans ce chapitre rester dans des choses simples sans trop partir dans les concepts topologiques des suites et séries. Cependant, la personne intéressée par des définitions plus rigoureuses pourra se reporter dans le chapitre traitant des Fractales (section d'Informatique Théorique) et de Topologie ou de nombreux concepts sur les suites sont définis (supremum, infimum, sous-suite, théorème de Bolzano-Weierstrass, etc.).
SUITES
Définition: Une "suite" d'un ensemble est une famille d'éléments indexée par l'ensemble des entiers naturels (cf. chapitre sur les Nombres) ou par une partie de celui-ci. De manière vulgarisée, nous disons qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre. Nous notons classiquement une suite par:Pour quelques suites, nous indiquons le premier terme
Avant de voir quelques exemples de familles de suites qui seront utilisées dans les différents chapitres du site (dynamiques des populations, économétrie, physique nucléaire, etc.) voyons un petit paquet de définitions comme il est de tradition en mathématique...
Définitions:
D1. Des nombres (en suite) sont en "progression arithmétique" si la différence de deux termes consécutifs est une constante r appelée la "raison".
D2. Des nombres (en suite) sont en "progression géométrique" si le rapport de deux termes consécutifs est une constante r appelée aussi la "raison".
D3. Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses de deux termes consécutifs sont en progression arithmétique.
Dès lors, une "suite" est arithmétique, géométrique, harmonique si ses termes sont respectivement en progression arithmétique, géométrique, harmonique et b est la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique de a et c si les nombres a,b,c sont en progression arithmétique, géométrique, harmonique.
Remarque: Pour les définitions des moyennes citées
ci-dessus voir le chapitre de Statistiques
D4. Une "suite majorée", est une suite tel qu'il existe
un réel M tel que D5. Une "suite minorée", est une suite tel qu'il existe un réel M tel que
D6. Une "suite bornée", est une suite tel qu'elle est à la fois majorée et minorée.
D7. Une suite
D8. Une suite
D9. Une suite
SUITES ARITHMÉTIQUES
Définition: Nous disons que des nombres ou que des "termes" en progression forment une "suite arithmétique" lorsque leurs valeurs numériques différent d'une valeur r appelée la "raison" de la suite tel que:La suite :
Ainsi, si nous notons par
P1. Un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres termes est la moyenne arithmétique de ces deux termes.
Démonstration:
Considérons maintenant (
Démonstration:
lorsque l'indexation se fait à partir de 1.
Démonstration:Nous pouvons écrire la série:
Comme :
SUITES HARMONIQUES
Définition: Nous disons que des nombres (1/a, 1/b, 1/c,...) forment une "suite harmonique" lorsque leurs inverses sont en progression arithmétique. Nous représentons cette progression par :En partageant cette série en groupes renfermant successivement
SUITES GÉOMETRIQUES
Définition : Une "suite géométrique" est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent n multiplié par un nombre constant q que nous appelons la "raison" de la progression. Nous désignerons par:P1. (triviale) Le quotient de deux termes d'une même suite est une puissance de la raison dont l'exposant égale la différence des rangs des deux termes (simple rapport de termes de puissance).
P2. (triviale) Si nous multiplions ou divisons terme à terme deux suites géométriques, nous obtenons une troisième suite géométrique dont la raison égale le produit (respectivement le quotient) des raisons des progressions données (simple opération avec les raisons des deux séries d'origine).
P3. Dans une suite géométrique, un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres termes est la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques) de ces deux termes (relisez plusieurs fois au besoin).
Démonstration:
Soit une suite géométrique réelle positive de raison q, nous avons :
Démonstration:
SUITE DE CAUCHY
Il est souvent intéressant pour le mathématicien, autant que pour le physicien, de connaître les propriétés d'une suite ayant un type de progression donnée. La propriété la plus importante étant la limite vers laquelle elle tend.
Remarque: Le lecteur qui n'est pas à l'aise avec
la topologie peut sauter le texte qui va suivre en attendant...
et celui qui
souhaite en savoir plus sur les suites de Cauchy peut se reporter
au chapitre de topologie et particulièrement dans le chapitre
consacré aux fractales (section d'Informatique Théorique).
Définition: Soit (X, d) un
espace métrique
(cf. chapitre de Topologie), nous
disons que la suite:Cependant la définition précédente de la convergence pose problème car la limite x doit être connue. Dans la plupart des cas intéressants, x est malheureusement inconnue. Pour sortir de cette impasse, Cauchy a l'idée de proposer la définition suivante:
Nous disons par définition que la suite
Remarque: Ce critère facilite certaines démonstrations car il permet
de montrer l'existence d'une limite sans faire intervenir sa valeur,
en général inconnue.
Maintenant, montrons qu'une suite convergente est de Cauchy.Démonstration:
Soit une suite
Alors pour
Dès lors nous prenons la distance euclidienne :
Le meilleur exemple est certainement le suivant :
Prenons
Les
Remarque: Les mathématiciens utilisent ce fait pour définir
l'ensemble des irrationnels en utilisant quelques concepts topologique
supplémentaires.
Nous venons de voir qu'une suite de Cauchy n'est pas forcément
une suite convergente dans X. La réciproque toutefois
est vraie : toute suite convergente est une suite de Cauchy.SUITE DE FIBONACCI
Si nous calculons une suite de nombres commençant par 0 et 1, de telle sorte que chaque terme soit égal à la somme des deux précédents, nous pouvons former la suite:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
(11.44)
par conséquent,
si nous désignons les différents termes par :L'origine de cette suite viendrait d'un problème de lapins posé à Fibonacci en 1202. Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois. Nous avons alors:
- Début: Un couple de bébés lapins qui vont grandir
- Premier mois: Un couple de lapins adultes (qui feront des bébés le mois prochain...)
- Deuxième mois: Un couple de lapins adultes et un couple de bébés donc 2 couples
- Troisième mois: Deux couples de lapins adultes et un couple de bébés donc 3 couples
- Quatrième mois: Trois couples de lapins adultes et deux couples de bébés donc 5 couples.
etc.
Prenons un exemple réel, cette fois-ci : le coeur de certaines fleurs, les écailles d'un ananas ou d'une pomme de pin forment deux familles de spirales enroulées en sens inverse. Sur une pomme de pin, vous compterez 5 spirales dans un sens et 8 dans l'autre, sur l'ananas, 8 et 13, sur la fleur de tournesol 21 et 34. Chaque fois , nous obtenons des nombres de Fibonacci !
Une illustration de ceci consiste à faire le simple schéma suivant (appelé "spirale de Fibonnacci") qui reproduit les nombres de fibonnaci sur un plan quadrillé:
(11.47)
Séries
Le physicien a souvent besoin pour résoudre simplement et formellement des problèmes, d'approximer certains "termes" (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) de ses équations. Pour cela, il utilisera les propriétés de certaines séries.Il existe, une quantité phénoménale de séries et de théories gravitant autour de ces dernières, mais nous citerons en particulier les séries de Taylor (utilisées un peu partout), les séries de Fourier (théorie du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions de Bessel (physique nucléaire) dont nous ferons une étude sommaire ici.
Définition: Soit donnée une suite numérique infinie :
Définition: La somme partielle des n premiers termes de la série est appelée "somme partielle" et notée
Montrons par ailleurs que si
Nous supposons d'abord que
SÉRIES DE GAUSS
Les séries arithmétiques de Gauss sont l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. L'application de cette forme condensée de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhaite simplifier l'expression de certains résultats.Gauss avait trouvé une méthode séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il avait 9 ans (...):
Nous pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons non en tant qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):
Calculons maintenant la somme des n premiers carrés (toujours non nuls). Posons:
NOMBRES ET POLYNÔMES DE BERNOULLI
Comme nous venons de le voir plus haut il est possible d'exprimer la somme des n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée selon (les quatre premiers ont été démontrés précédemment) les relations suivantes où nous avons poséNous avons vu dans notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que :
En continuant ainsi nous montrons que :
Ainsi, en se basant sur :
k
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|
0
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1
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1
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−1/2
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2
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1/6
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3
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0
|
4
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−1/30
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5
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0
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6
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1/42
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7
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0
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8
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−1/30
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9
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0
|
10
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5/66
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11
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0
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12
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−691/2730
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13
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0
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14
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7/6
|
Le lecteur aura remarqueré
que
lorsque n est
impair et différent de 1.
Avec une petite modification, il est possible de définir les "polynômes de Bernoulli"
D'un côté nous avons:
(11.99)