Cours sur les suites et les séries - Mathématiques

Cours sur les suites et les séries



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites
1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe
Les suites et séries ont une très grande importance dans les mathématiques appliquées c'est la raison pour laquelle nous y consacrons un chapitre entier. Nous les retrouverons par ailleurs souvent en physique lorsque nous aurons besoin de faire quelques approximations mineures (...) ainsi qu'en économétrie pour le calcul des rentes. Il conviendra cependant de la part du lecteur de ne pas confondre dans ce qui va suivre le concept de "suite" de celui de "série" qui tout en étant similaires sur le fond ne s'analysent mathématiquement pas toujours de la même manière.
Nous avons souhaité dans ce chapitre rester dans des choses simples sans trop partir dans les concepts topologiques des suites et séries. Cependant, la personne intéressée par des définitions plus rigoureuses pourra se reporter dans le chapitre traitant des Fractales (section d'Informatique Théorique) et de Topologie ou de nombreux concepts sur les suites sont définis (supremum, infimum, sous-suite, théorème de Bolzano-Weierstrass, etc.).

SUITES

Définition: Une "suite" d'un ensemble est une famille d'éléments indexée par l'ensemble des entiers naturels (cf. chapitre sur les Nombres) ou par une partie de celui-ci. De manière vulgarisée, nous disons qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre. Nous notons classiquement une suite par:
equation ou equation   (11.1)
où l'indexation se fait parfois (par tradition...) sans le 0.
Pour quelques suites, nous indiquons le premier terme equation(si l'indexation commence par 1 au lieu de 0), ainsi qu'une formule pour obtenir n'importe quel terme equation à partir du terme précédent equation quel que soit equation. Nous appelons une telle formulation une "définition récurrente", et la suite est dite définie "par récurrence" (et de même si elle est indexée à partir de 0 au lieu de 1).
Avant de voir quelques exemples de familles de suites qui seront utilisées dans les différents chapitres du site (dynamiques des populations, économétrie, physique nucléaire, etc.) voyons un petit paquet de définitions comme il est de tradition en mathématique...
Définitions:
D1. Des nombres (en suite) sont en "progression arithmétique" si la différence de deux termes consécutifs est une constante r appelée la "raison".
D2. Des nombres (en suite) sont en "progression géométrique" si le rapport de deux termes consécutifs est une constante r appelée aussi la "raison".
D3. Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses de deux termes consécutifs sont en progression arithmétique.
Dès lors, une "suite" est arithmétique, géométrique, harmonique si ses termes sont respectivement en progression arithmétique, géométrique, harmonique et b est la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique de a et c si les nombres a,b,c sont en progression arithmétique, géométrique, harmonique.
Remarque: Pour les définitions des moyennes citées ci-dessus voir le chapitre de Statistiques
D4. Une "suite majorée", est une suite tel qu'il existe un réel M tel que equation
D5. Une "suite minorée", est une suite tel qu'il existe un réel M tel que equation
D6. Une "suite bornée", est une suite tel qu'elle est à la fois majorée et minorée.
D7. Une suite equation est appelée "suite croissante" si equation
D8. Une suite equation est appelée "suite décroissante" si equation
D9. Une suite equation est "suite constante constante" si equation

SUITES ARITHMÉTIQUES

Définition: Nous disons que des nombres ou que des "termes" en progression forment une "suite arithmétique" lorsque leurs valeurs numériques différent d'une valeur r appelée la "raison" de la suite tel que:
equation   (11.2)
r est donc la "raison" de la progression. Nous avons alors bien évidemment si l'indexation commence à partir de 0:
equation   (11.3)
Ainsi, la suite :
equation   (11.4)
n est une constante est une suite arithmétique de raison equation.
La suite :
equation   (11.5)
est une suite arithmétique de raison equation, etc.
Ainsi, si nous notons par equation un terme quelconque de la suite (equation) de raison r, nous avons :
equation   (11.6)
Nous avons les propriétés suivantes pour un tel type de suite :
P1. Un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres termes est la moyenne arithmétique de ces deux termes.
Démonstration:
Considérons maintenant (equation) une suite arithmétique de raison r donné selon le développement précédent :
equation   (11.7)
et soient equation tels que equation, nous avons alors :
equation   (11.8)
et donc :
equation avec equation   (11.9)
equationC.Q.F.D.
P2. Pour trois termes consécutifs en progression arithmétique, le deuxième terme est la moyenne arithmétique des deux autres.
Démonstration:
equation avec equation   (11.10)
equationC.Q.F.D.
Si equation est une progression arithmétique de raison r, alors la n-ème somme partielle equation (c'est-à-dire, la somme des n premiers termes à la puissance 1) est donnée par:
equation ou equation   (11.11)
lorsque l'indexation se fait à partir de 1.
Démonstration:
Nous pouvons écrire la série:
equation   (11.12)
En jouant avec la deuxième ligne, nous obtenons:
equation   (11.13)
Ce qui se simplifie encore:
equation   (11.14)
Nous démontrerons quelques lignes plus bas que la série de Gauss simple:
equation   (11.15)
est égale à :
equation   (11.16)
Nous avons alors pour:
equation   (11.17)
la relation suivante:
equation   (11.18)
Il vient alors:
equation   (11.19)
Nous voyons avec cette dernière relation que si equation nous retombons sur la série de Gauss simple.
Comme :
equation   (11.20)
lorsque l'indexation se fait à partir de 1. Il vient alors:
equation   (11.21)
equationC.Q.F.D.
Nous verrons d'autres types de sommations lors de notre étude des séries un peu plus bas lors de notre étude des séries!

SUITES HARMONIQUES

Définition: Nous disons que des nombres (1/a, 1/b, 1/c,...) forment une "suite harmonique" lorsque leurs inverses sont en progression arithmétique. Nous représentons cette progression par :
equation   (11.22)
a, b, c, ..., h, k, l  désignant des termes au dénominateur en progression arithmétique de raison r. D'ailleurs, nous supposerons, dans ce qui suit, qu'il n'y a aucun dénominateur nul.
En partageant cette série en groupes renfermant successivement equation termes, nous observons que chacun de ceux-ci est plus grand que le dernier de son groupe:
equation   (11.23)
et que la somme des termes de chaque groupe est plus grande que 1/2 . La somme des termes de la série augmente donc indéfiniment; nous disons alors que la série est une "série divergente" (nous reviendrons plus en détail sur ces concepts de convergence et divergence plus bas).

SUITES GÉOMETRIQUES

Définition : Une "suite géométrique" est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent n multiplié par un nombre constant q que nous appelons la "raison" de la progression. Nous désignerons par:
equation   (11.24)
Ainsi, si nous notons par equation un terme quelconque de la suite (equation), nous avons (trivial) :
equation   (11.25)
Voici quelques propriétés pour un tel type de suite (sans démonstration pour l'instant... sauf demande car triviales pour la plupart) :
P1. (triviale) Le quotient de deux termes d'une même suite est une puissance de la raison dont l'exposant égale la différence des rangs des deux termes (simple rapport de termes de puissance).
P2. (triviale) Si nous multiplions ou divisons terme à terme deux suites géométriques, nous obtenons une troisième suite géométrique dont la raison égale le produit (respectivement le quotient) des raisons des progressions données (simple opération avec les raisons des deux séries d'origine).
P3. Dans une suite géométrique, un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres termes est la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques) de ces deux termes (relisez plusieurs fois au besoin).
Démonstration:
Soit une suite géométrique réelle positive de raison q, nous avons :
equation   (11.26)
Soit a,b deux termes de la suite géométrique, nous avons alors :
equation   (11.27)
et ainsi :
equation   (11.28)
equationC.Q.F.D.
Nous avons comme corolaire que pour trois termes consécutifs en progression géométrique, le deuxième terme est la moyenne géométrique des deux autres.
Démonstration:
equation   (11.29)
avec :
equation   (11.30)
equationC.Q.F.D.
Il existe cependant quelques suites particulières qui ont des propriétés particulières que nous retrouvons très fréquemment en mathématique ou physique théorique. Sans trop entrer dans les détails, voici une petite liste (non exhaustive de ces dernières) :

SUITE DE CAUCHY

Il est souvent intéressant pour le mathématicien, autant que pour le physicien, de connaître les propriétés d'une suite ayant un type de progression donnée. La propriété la plus importante étant la limite vers laquelle elle tend.
Remarque: Le lecteur qui n'est pas à l'aise avec la topologie peut sauter le texte qui va suivre en attendant... et celui qui souhaite en savoir plus sur les suites de Cauchy peut se reporter au chapitre de topologie et particulièrement dans le chapitre consacré aux fractales (section d'Informatique Théorique).
Définition: Soit (X, d) un espace métrique (cf. chapitre de Topologie), nous disons que la suite:
equation   (11.31)
converge vers equation si par définition :
equation   (11.32)
En d'autres termes plus nous avançons dans la suite, plus les points sont proches (au sens de la métrique d ) les uns des autres.
Cependant la définition précédente de la convergence pose problème car la limite x doit être connue. Dans la plupart des cas intéressants, x est malheureusement inconnue. Pour sortir de cette impasse, Cauchy a l'idée de proposer la définition suivante:
Nous disons par définition que la suite equation d'éléments de X est une "suite de Cauchy" si :
  equation   (11.33)
Il est clair alors que toute suite convergente est une suite de Cauchy (bon il y a quelques subtilités auxquelles nous ne ferons pas référence pour l'instant).
Remarque: Ce critère facilite certaines démonstrations car il permet de montrer l'existence d'une limite sans faire intervenir sa valeur, en général inconnue.
Maintenant, montrons qu'une suite convergente est de Cauchy.
Démonstration:
Soit une suite equation convergeant vers l (qui nous est inconnu donc!) et equation (choisi au hasard). Il existe alors selon la définition d'une suite convergente, equation tel que :
equation   (11.34)
le choix d'écrire equation est complètement arbitraire mais au fait nous anticipons juste le résultat de la démonstration afin que celui-ci soit plus esthétique.
Alors pour equation (au fait connaître le N en question importe peu puisque cela doit marcher pour n'importe lequel... bon n'oublions pas quand même que N dépend de equation) nous avons selon l'inégalité triangulaire :
equation   (11.35)
et puisque equation :
equation   (11.36)
ce qui revient à écrire :
equation   (11.37)
C'est peut être un peu abstrait alors voyons un exemple avec la suite harmonique (divergente comme nous le savons déjà) equation. D'abord, rien ne nous interdit de prendre equation (sinon cela va être dur de faire une différence entre deux termes...).
Dès lors nous prenons la distance euclidienne :
equation   (11.38)
D'abord le lecteur remarquera que dans tous les cas equation puisque compris entre equation et equation. Ce qui nous amène à pouvoir écrire :
equation   (11.39)
Donc à partir de cette égalité il vient automatique que chaque terme de la somme de gauche ci-dessous sera plus grand que chaque terme de la somme de droite suivant :
equation avec equation   (11.40)
maintenant l'idée est de voir que la somme de gauche est donc plus grande ou égale à equation et cela quelque soit n. Ainsi, l'idée c'est que nous ayons trouvé un epsilon pour lequel le critère de Cauchy est mis en défaut. Car dans le cas contraire nous aurions du avoir :
equation   (11.41)
donc la suite n'est pas convergente.
equationC.Q.F.D.
Donc, ce n'est pas parce que des points se rapprochent les uns des autres qu'ils convergent vers un point, car ce point n'existe peut-être pas.
exempleExemple:
Le meilleur exemple est certainement le suivant :
Prenons equation et:
equation   (11.42)
Soit z un nombre irrationnel et equation, avec equation.
Les equation forment une suite de Cauchy. En effet :
equation   (11.43)
et donc equation si equation. Nous avons donc trouvé un N qui satisfait à notre définition d'une suite de Cauchy. Or cette suite ne converge pas dans equation sinon z serait rationnel.
Remarque: Les mathématiciens utilisent ce fait pour définir l'ensemble des irrationnels en utilisant quelques concepts topologique supplémentaires.
Nous venons de voir qu'une suite de Cauchy n'est pas forcément une suite convergente dans X. La réciproque toutefois est vraie : toute suite convergente est une suite de Cauchy.

SUITE DE FIBONACCI

Si nous calculons une suite de nombres commençant par 0 et 1, de telle sorte que chaque terme soit égal à la somme des deux précédents, nous pouvons former la suite:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...   (11.44)
par conséquent, si nous désignons les différents termes par :
equation   (11.45)
nous avons la loi de formation:
equation   (11.46)
La suite de Fibonacci possède des propriétés nombreuses fortes intéressantes, qui seront développées ultérieurement. Il s'agit cependant de la première "suite récurrente" connue (d'où le fait que nous en parlions sur ce site).
L'origine de cette suite viendrait d'un problème de lapins posé à Fibonacci en 1202. Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois. Nous avons alors:
- Début: Un couple de bébés lapins qui vont grandir
- Premier mois: Un couple de lapins adultes (qui feront des bébés le mois prochain...)
- Deuxième mois: Un couple de lapins adultes et un couple de bébés donc 2 couples
- Troisième mois: Deux couples de lapins adultes et un couple de bébés donc 3 couples
- Quatrième mois: Trois couples de lapins adultes et deux couples de bébés donc 5 couples.
etc.
Prenons un exemple réel, cette fois-ci : le coeur de certaines fleurs, les écailles d'un ananas ou d'une pomme de pin forment deux familles de spirales enroulées en sens inverse. Sur une pomme de pin, vous compterez 5 spirales dans un sens et 8 dans l'autre, sur l'ananas, 8 et 13, sur la fleur de tournesol 21 et 34. Chaque fois , nous obtenons des nombres de Fibonacci !
Une illustration de ceci consiste à faire le simple schéma suivant (appelé "spirale de Fibonnacci") qui reproduit les nombres de fibonnaci sur un plan quadrillé:

  (11.47)
Nous utilisons également ce genre de suite pour montrer l'utilité du principe d'induction présenté dans le chapitre de Théorie Des Nombres se trouvant dans la section d'Arithmétique.

Séries

Le physicien a souvent besoin pour résoudre simplement et formellement des problèmes, d'approximer certains "termes" (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) de ses équations. Pour cela, il utilisera les propriétés de certaines séries.
Il existe, une quantité phénoménale de séries et de théories gravitant autour de ces dernières, mais nous citerons en particulier les séries de Taylor (utilisées un peu partout), les séries de Fourier (théorie du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions de Bessel (physique nucléaire) dont nous ferons une étude sommaire ici.
Définition: Soit donnée une suite numérique infinie :
equation   (11.48)
L'expression :
equation   (11.49)
est appelée "série numérique".
Définition: La somme partielle des n premiers termes de la série est appelée "somme partielle" et notée equation :
equation   (11.50)
Si la limite notée S suivante existe et est finie :
equation   (11.51)
nous l'appelons la "somme de la série" et nous disons que la "série converge" (elle est donc de Cauchy). Cependant, si la limite n'existe pas, nous disons que la "série diverge" et n'a pas de somme (pour plus de détails voir le  sous-chapitre plus loin traitant des critères de convergence).
Montrons par ailleurs que si equation est une série numérique convergente alors :
equation   (11.52)
Démonstration:
Nous supposons d'abord que equation est bien une série convergente et notons par S sa limite. Posons :
equation   (11.53)
Alors :
equation   (11.54)
Or, si la série est convergente :
equation   (11.55)
Donc :
equation   (11.56)
equationC.Q.F.D.
Voyons comment calculer la somme partielle des quelques séries classiques :

SÉRIES DE GAUSS

Les séries arithmétiques de Gauss sont  l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. L'application de cette forme condensée de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhaite simplifier l'expression de certains résultats.
Gauss avait trouvé une méthode séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il avait 9 ans (...):
equation   (11.57)
En simplifiant, nous trouvons facilement:
equation   (11.58)
pour equation.
Nous pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons non en tant qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):
Calculons maintenant la somme des n premiers carrés (toujours non nuls). Posons:
equation   (11.59)
nous savons que (binôme de Newton):
equation
nous pouvons donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes:
equation   (11.60)
Avec quelques manipulations algébriques élémentaires:
equation   (11.61)
d'où:
equation   (11.62)
Finalement:
equation   (11.63)
Terminons avec la somme des n premiers cubes (non nuls). Le principe étant le même que précédemment, nous posons:
equation   (11.64)
Nous savons par ailleurs que (binôme de Newton):
equation   (11.65)
Nous obtenons en faisant varier k de 1 à n, n relations que nous pouvons ajouter membre à membre:
equation   (11.66)
Nous avons donc:
equation   (11.67)
Ce qui donne après développement:
equation   (11.68)
Et après une première simplification:
equation   (11.69)
et une deuxième:
equation   (11.70)
Le résultat final est donc :
equation   (11.71)
ou écrit autrement:
equation   (11.72)
Evidemment, nous pouvons continuer ainsi longtemps mais à partir d'une certaine valeur de l'élévation de la puissance les choses se compliquent un petit peu (de plus, la méthode est un peu longue). Ainsi, un des membres de la famille des Bernoulli (c'était une famille de mathématiciens assez doués...) a montré une relation générale fonctionnant pour n'importe quelle puissance en définissant ce que nous appelons le "polynôme de Bernoulli".

NOMBRES ET POLYNÔMES DE BERNOULLI

Comme nous venons de le voir plus haut il est possible d'exprimer la somme des n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée selon (les quatre premiers ont été démontrés précédemment) les relations suivantes où nous avons posé equation avec n' le nombre de termes dont nous voulons la somme 0 non compris (d'où le signe négatif que nous n'avions pas plus haut) :
equation   (11.73)
Jacob Bernoulli remarqua ensuite que les polynômes equation avaient la forme :
equation   (11.74)
Dans cette expression, les nombres equation semblent ne pas dépendre de p. Plus généralement, après tâtonnement on remarque que le polynôme peut être écrit sous la forme :
equation   (11.75)
Ce qui donne par identification les "nombres de Bernoulli" :
equation   (11.76)
Par la suite, les mathématiciens dans leurs recherches sont tombés au hasard sur le fait que les nombres de Bernoulli pouvaient être exprimés par la série :
equation avec equation   (11.77)
En d'autres termes, la fonction génératrice des nombres de Bernoulli serait G(z). Si nous développons les premiers termes de cette série  :
equation   (11.78)
Démonstration:
Nous avons vu dans notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que :
equation   (11.79)
Dès lors :
equation   (11.80)
Posons maintenant :
equation   (11.81)
Nous avons alors :
equation.   (11.82)
Nous voyons (en distribuant) que :
equation   (11.83)
par suite pour que tout cela soit égal à l'unité il faut que :
equation   (11.84)
De la deuxième équation nous tirons :
equation   (11.85)
De la troisième équation nous tirons :
equation   (11.86)
etc.
En continuant ainsi nous montrons que :
equation...   (11.87)
Il est évident que cette méthode nous permet de calculer à la main que les premiers termes de cette série.
Ainsi, en se basant sur :
equation   (11.88)
nous trouvons que les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants:
k
equation
0
1
1
−1/2
2
1/6
3
0
4
−1/30
5
0
6
1/42
7
0
8
−1/30
9
0
10
5/66
11
0
12
−691/2730
13
0
14
7/6
Tableau: 11.1  - Nombres de Bernouilli
Le lecteur aura remarqueré que equation lorsque n est impair et différent de 1.
equationC.Q.F.D.
Nous voyons bien par ailleurs, que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrits simplement. En fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann (voir plus bas) pour des valeurs entières négatives de la variable, et sont associés à des propriétés théoriques profondes qui dépassent le cadre de ce site. Par ailleurs, les nombres de Bernoulli apparaissent également dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes circulaire et hyperbolique, dans la formule d'Euler-MacLaurin ainsi (voir plus bas).
Avec une petite modification, il est possible de définir les "polynômes de Bernoulli" equation par :
equation   (11.89)
avec donc :
equation   (11.90)
Par ailleurs, il est aisé de remarquer que:
equation   (11.91)
et donc il est facile d'en déduire:
equation   (11.92)
Démonstration:
D'un côté nous avons:
equation   (11.93)
et d'un autre nous avons:
equation  (11.94)
Donc:
equation   (11.95)
equationC.Q.F.D.
Et par identification des coefficients nous en déduisons:
equation   (11.96)
et pour equation:
equation   (11.97)
Il est alors aisé de déduire que les equationsont des polynômes de degré k:
equation   (11.98)
Voici un tracé de ces polynômes:
equation
  (11.99)
Ce qui est remarquable c'est qu'à l'aide des polynômes de Bernoulli, nous voyons qu'il est possible d'écrire les equation sous la forme suivante:
equation   (11.100)
Certains écrivent cette relation encore autrement. Effectivement, de la relation précédente, nous pouvons écrire:
equation   (11.101)
Et en utilisant:
equation   (11.102)
Il vient:
equation   (11.103)
Donc nous venons de démontrer:
equation   (11.104)
Cependant, nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il advient de la somme partielle de suites arithmétiques et géométriques telles que présentées au début de ce chapitre.


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