Séries Arithmétiques Et Séries de Taylor et MacLaurin - COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES - Mathématiques

SÉRIES ARITHMÉTIQUES



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites
1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe
Nous avons démontré plus haut que la somme partielle de la série de Gauss (analogue à la somme des termes d'une suite arithmétique de raison r=1) s'écrivait donc:
equation   (11.105)
si nous notons non pas n la valeur n-ème terme mais equation, le développement que nous avions fait pour la série de Gauss nous amène alors à:
equation   (11.106)
et si nous notons le premier terme 1 de la Série de Gauss par equation, nous avons alors:
equation   (11.107)
ce qui nous donne la somme partielle des n-termes d'une suite arithmétique de raison r quelconque (ou plus simplement : la somme partielle de la série arithmétique de raison r)
Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en reprenant (toujours) le même développement fait que pour la série de Gauss, le terme r se simplifie.

SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

De même, avec un somme géométrique où nous avons pour rappel:
equation   (11.108)
nous avons donc:
equation   (11.109)
La dernière relation s'écrit (après simplification):
equation   (11.110)
et si equation, nous avons:
equation   (11.111)
ce qui peut s'écrire en factorisant equation:
equation   (11.112)
exempleExemple:
Soit la suite de raison q=2 suivante:
equation   (11.113)
pour calculer la somme des quatre premiers termes equation, nous prenons la puissance de 2 équivalent equation (le zéro n'étant pas pris en compte). Nous obtenons alors bien equation.

FONCTION ZÊTA ET IDENTITÉ D'EULER

L'allemand Riemann a baptisé "zêta" une fonction déjà étudiée avant lui, mais qu'il examine lorsque la valeur est un nombre complexe (cf. chapitre sur les Nombres). Cette fonction se présente comme une série de puissances inverses de nombres entiers. C'est la série:
equation   (11.114)
Remarque: Il est traditionnel de noter s la variable dont dépend cette série.
Cette série a une propriété intéressante mais si l'on reste dans le cadre des puissances entières positives et non nulles:
equation   (11.115)
quand equation nous avons alors:
equation   (11.116)
Si nous faisons equation, nous obtenons la somme des puissances inverses de 2 et de mêmes avec equation tel que:
equation   (11.117)
Si nous faisons le produit de ces deux expressions, nous obtenons la somme des puissances de toutes les fractions dont le dénominateur est un nombre produit de 2 et de 3:
equation   (11.118)
Si nous prenons tous les nombres premiers à gauche, nous obtiendrons à droite tous les nombres entiers, puisque tout entier est produit de nombres premiers selon le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie Des Nombres), et c'est l'identité fondamentale d'Euler : ce que nous appelons maintenant la "fonction zêta de Riemann" est à la fois un produit fini et la somme des puissances inverse de tous les entiers:
equation   (11.119)
En notation condensée, "l'identité d'Euler" est:
equation   (11.120)
p sont les nombres premiers.


SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN

 

Les séries de Taylor et de MacLaurin constituent un outil pratique très puissant pour simplifier des modèles théoriques ou des calculs informatiques. Elles sont utilisées énormément dans tous les domaines de la physique mais on les retrouve aussi dans l'industrie dans couramment en ingénierie (plans d'expérience, méthodes numériques, gestion de la qualité), statistiques (approximations d'intégrales), finance (processus stochastiques), analyse complexe... Nous conseillons donc vivement au lecteur de bien lire les développements qui vont suivre.
Soit un polynôme (à une variable):
equation   (11.121)
Nous avons trivialement pour ce dernier:
equation   (11.122)
Soit maintenant la dérivée du polynôme P(x) :
equation   (11.123)
donc:
equation   (11.124)
et ainsi de suite avec P''(x),P'''(x),... tel que:
 equation   (11.125)
Il s'ensuit que:
equation   (11.126)
Donc finalement notre polynôme peut s'écrire:
equation   (11.127)
relation que nous appelons "série de MacLaurin limitée" ou tout simplement "série de MacLaurin".
En appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le polynôme sur la valeur equation, nous avons:
equation   (11.128)
et ainsi le développement précédent devient:
equation   (11.129)
qui n'est d'autre que l'expression générale d'un polynôme exprimé sous une forme dite de "série de Taylor limitée". Cette fonction peut être assimilée à un polynôme tant que n est fini. Mais si n est infini, comme nous le verrons plus loin, cette série converge vers la fonction dont nous cherchons la représentation sous forme de somme de termes.
Ainsi, certaines fonctions f(x) pouvant être approchés par un polynôme P(x) (une somme de puissances autrement dit...) centré sur la valeur equation peuvent êtres exprimées sous la forme:
equation   (11.130)
Par contre cette dernière relation n'est pas juste pour toutes les fonctions ne pouvant pas s'exprimer sous forme de polynômes. Dès lors nous disons que la série n'est pas convergente pour ces dernières. Nous en verrons un exemple plus bas.
La dernière relation s'écrit aussi de manière plus conventionnelle... :
equation   (11.131)
Revenons brièvement à l'approximation de f(x) proche et centrée en equation:
equation   (11.132)
Certaines personnes n'aiment pas utiliser cette formulation car on risque d'oublier que l'approximation pour quelques termes n'est bonne tant que l'on ne s'éloigne pas trop de equation avec x.
Raisons pour laquelle il arrive souvent que nous posions:
equation   (11.133)
avec equation fixé et h variable mais petit (!) et dès lors il vient alors une forme d'écriture courante des séries de Taylor:
equation   (11.134)
Voyons un exemple d'application avec une série de MacLauin (avec equation étant nul) de la fonction sin(x) et Maple:

equation
  (11.135)
Nous voyons donc bien dans cet exemple que la série de MacLaurin ne permet que d'approcher une fonction en un point avec un nombre limités de points. Mais plus nous prenons de termes (mettre 100 termes dans l'exemples précédent) plus la validité est grande sur tout le domaine de définition de la fonction. Au fait il est possible de démontrer que la fonction sin(x) est exactement exprimable en série de MacLaurin lorsque le nombre de termes est infini. Nous disons alors que son "reste" est nul.
Par contre ceci n'est pas vrai pour toutes les fonctions. Par exemple:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=0,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]);
equation
  (11.136)
Nous voyons bien ci-dessus que peu importe le nombre de termes que nous prenons, la série de MacLaurin converge seulement dans un domaine de définition compris entre ]-1,1[. Cette intervalle est appelé le "rayon de convergence" et sa détermination (celle des singularités) est un point crucial dans de nombreux domaines de l'ingénierie, de la physique et de l'analyse. Nous y reviendrons plus en détails dans le chapitre d'Analyse Complexe.
Par contre nous pouvons décaler la série de MacLaurin de la fonction précédente afin d'approcher la fonction avec une série de Taylor en un autre point non singulier comme par exemple en equation valant 2:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=2,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]);
equation
  (11.137)
Nous étudierons une généralisation au plan complexe des séries de Talyor précédentes dans le chapitre d'Analyse Complexe pour obtenir un résultat très puissant permettant aux physiciens de calculer des intégrales curvilignes compliquées.

SÉRIES DE TAYLOR D'UNE FONCTION A 2 VARIABLES

Nous allons voir ici comment approcher une fonction f(x, y) de deux variables réelles en une somme de puissances (série de Taylor). Ce type d'approximation est très utilisé dans de nombreux domaines de l'ingénierie (cf. chapitre de Génie Industriel).
Nous cherchons donc une approximation de f(x, y) au point equation.
Pour cela, posons (rien ne nous interdit à priori de la faire) que:
equation   et   equation   (11.138)
Nous avons alors:
equation   (11.139)
La valeur de (l'astuce est là!):
equation   (11.140)
peut être approchée en utilisant son expression en série de Taylor autour de la valeur 0 tel que:
equation   (11.141)
Or, nous avons:
equation   (11.142)
et:
equation   (11.143)
Selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel):
equation   (11.144)
Nous avons alors:
equation   (11.145)
et on démontre par récurrence que:
equation   (11.146)
Nous avons alors finalement:
equation   (11.147)
ou sous une autre forme équivalente:
equation   (11.148)

RESTE DE LAGRANGE

Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques (cf. chapitre de Méthodes Numériques) à connaître l'erreur d'approximation du polynôme equation par rapport à la fonction equation .
Définissons pour cela un "reste" equation, tel que:
equation   (11.149)
La fonction equation est appelée "reste de Lagrange".
Considérons maintenant une fonction f(x) qui est equation fois dérivable sur un intervalle qui contient equation. Pour une valeur x de l'intervalle, différente de equation, nous nous proposons de démontrer qu'il existe un nombre z situé entre equation et x tel que:
equation   (11.150)
Démonstration:
Soit une fonction g(t) une fonction définie par la différence d'une fonction f(x) supposé connue et une approximation de Taylor de cette même fonction:
equation
  (11.151)
avec bien sûr:
equation   (11.152)
Nous voyons que g(t) s'annule bien pour la valeur equation.
Dérivons maintenant g(t) par rapport à t, nous trouvons:
equation   (11.153)
Après simplification:
equation   (11.154)
Selon le théorème de Rolle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), il existe une valeur equation pour lequel la dérivée equation s'annule. Donc:
equation   (11.155)
Nous pouvons simplifier l'équation par equation:
equation   (11.156)
ce qui s'écrit aussi:
equation   (11.157)
et nous trouvons donc pour maximum de equation:
equation   (11.158)
equationC.Q.F.D.
Nous voyons que plus le polynôme equation est de degré élevé, plus il approxime la fonction f(x) avec exactitude. Que se passe-t-il lorsque equation ?
equation   (11.159)
Supposons que f(x) admette des dérivées de tout ordre (ce que nous notonsequation) pour toutes les valeurs d'un intervalle quelconque contenant equation et soit equation le reste de Lagrange de f(x) en equation. Si, quel que soit x dans l'intervalle:
equation   (11.160)
alors f(x) est exactement représentée par P(x) sur l'intervalle.
Démonstration:
Elle découle simplement de l'expression de equation lorsque equation.
Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour equation, la correspondance avec la fonction approchée est parfaite et donc le reste est nul.

Le polynôme:
equation   (11.161)
est appelé "polynôme de Taylor" ou "série de Taylor". Si equation, il est appelé "polynôme de MacLaurin" ou "série de MacLaurin".

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