CRITÈRES DE CONVERGENCE - COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES - Mathématiques

CRITÈRES DE CONVERGENCE



COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites
1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe
Lorsque nous étudions une série, l'une des questions fondamentales est celle de la convergence ou de la divergence de cette série.
Si une série converge, son terme général tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini :
equation   (11.302)
Ce critère est nécessaire mais non suffisant pour établir la convergence d'une série. Par contre, si ce critère n'est pas rempli, on est absolument sûr que la série ne converge pas (donc elle diverge!).
Trois méthodes sont proposées pour approfondir le critère de convergence :
1. Le test de l'intégrale
2. La règle d'Alembert
3. La règle de Cauchy
Dans les paragraphes suivants, nous admettrons des séries à terme positifs. Le cas de la série alternée sera vu ultérieurement.

TEST DE L'INTÉGRALE

Soit la série à termes positifs décroissants :
equation   (11.303)
c'est-à-dire :
equation   (11.304)
et soit une fonction continue décroissante telle que :
equation   (11.305)
nous pouvons alors affirmer que :
1. Si l'intégrale :
equation   (11.306)
converge, la série converge également.
2. Si l'intégrale :
equation   (11.307)
diverge, la série diverge également.
Remarque: En aucun cas l'intégrale ne donne la valeur de la somme de la série ! Le test de l'intégrale donne simplement une indication sur la convergence de la série. Avant de faire le test de l'intégrale, il est important de vérifier que les termes de la série soient strictement décroissants afin de remplir la condition equation.

RÈGLE D'ALEMBERT

Si dans une série à termes positifs :
equation   (11.308)
le rapport equation (assimilable à une fonction prise en son entier) a une limite finie L lorsque equation :
equation   (11.309)
1. Si equation, la série converge
2. Si equation, la série diverge
3. Si equation on ne peut rien dire
et nous définissons le "rayon de convergence" comme :
equation   (11.310)

RÈGLE DE CAUCHY

Si dans une série à termes positifs :
equation   (11.311)
la quantité equation a une limite finie L lorsque equation telle que :
equation   (11.312)
avec à nouveau les mêmes considérations que pour la règle d'Alembert :
1. Si equation, la série converge
2. Si equation, la série diverge
3. Si equation on ne peut rien dire

THÉOREME DE LEIBNIZ

Nous avons considéré jusqu'à présent des séries à termes positifs. Nous allons considérer dans cette partie des séries dont les termes sont alternés, c'est-à-dire des séries de la forme :
equation   (11.313)
Définition: Une série est dite "série alternée" si deux termes consécutifs de cette série sont de signe contraire.
Si dans une série alternée les termes en valeur absolue vont en décroissant  :
equation   (11.314)
et si :
equation   (11.315)
alors la série converge, sa somme est positive et n'est pas supérieure au premier terme.
Si S est la somme de la série et equation une somme partielle, alors :
equation   (11.316)
Remarque: Il est important de vérifier que les valeurs absolues des termes de la série soient strictement décroissantes afin de remplir la condition précédente.

CONVERGENCE ABSOLUE

Définition: Une série à termes variables est dite absolument convergente si la série formée avec la valeur absolue de ses termes converge :
equation   (11.317)
Si une série alternée de termes est absolument convergente, la série absolue qui en découle converge aussi.
Nous pouvons généraliser la règle d'Alembert au cas des séries à termes quelconques :
equation   (11.318)
Ainsi, le rapport  equation a une limite finie L lorsque pour equation nous avons :
equation   (11.319)
toujours avec les mêmes conclusions que pour la règle d'Alembert normale.

THÉOREME DU POINT FIXE

Le théorème du point fixe n'est pas vraiment utile en physique (implicitement il est indispensable mais les physiciens utilisent souvent des outils mathématiques dont les propriétés ont déjà été validées au préalable par des mathématiciens), cependant nous le retrouvons en théorie du chaos (les vortex, tourbillons, etc...) ainsi qu'en informatique théorique (voir chapitre traitant des fractales en particulier le triangle de Sierpinski). Nous ne saurions donc que recommander au lecteur de prendre le temps de lire et de comprendre les explications qui vont suivre.
Soit (X,d), un espace métrique complet (cf. chapitre de Topologie ou des Fractales) et soit equation une application strictement contractante de constante L (voir les fonctions lipschitziennes chapitre de topologie), alors il existe un unique point equation tel que equation. equation est alors dit le "point fixe" de T. De plus si nous notons par :
 equation  (11.320)
l'image de x par le n-ème itéré de T, nous avons alors :
equation   (11.321)
et la vitesse de convergence peut d'ailleurs être estimée par :
equation   (11.322)
Démonstration:
Soit equation nous considérons la suite equation définie comme ci-dessus. Nous allons d'abord montrer que cette suite est une suite de Cauchy (voir plus haut sur la présente page ce qu'est une suite de Cauchy).
En appliquant l'inégalité triangulaire (cf. chapitre d'Analyse Vectorielle) plusieurs fois nous avons :
equation
  (11.323)
Or :
equation   (11.324)
donc :
equation
  (11.325)
pour finir :
equation   (11.326)
c'est-à-dire que dans un premier temps equation est bien une suite de Cauchy.
(X,d) étant un espace complet nous avons que  equation converge, et nous posons :
equation   (11.327)
A présent, nous vérifions que equation est bien un point fixe de T. En effet T est uniformément continue (car lipschitzienne - voir le chapitre de Topologie) donc à fortiori continue ainsi:
equation   (11.328)
Il reste à vérifier que equation est l'unique point fixe (du coup nous aurons démontré que equation ne dépend pas du choix de x). Supposons que nous ayons aussi equation alors :
equationequation   (11.329)
Une estimation de la vitesse de convergence est donnée par:
equation   (11.330)
equation est continue par rapport à chacune des variables donc:
equation   (11.331)
et les limites préservent les inégalités (non strictes) donc:
equation   (11.332)

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