EDP elliptiques d’ordre 2




Soit Ω un ouvert borné de IRn  , de frontière ∂Ω assez régulière. Soient des fonctions aij(1 i,j n)
dans C1(¯ ) et a0  dans C0(¯ ). On considère le problème :






ou` Γ0  et Γ1  forment une partition de ( Γ0  Γ1  = et Γ0  Γ1  = Ω).


Une solution classique de (P), sous l’hypothèse que  f   C0(¯ ) et  g   C01),  sera une  


fonction de C2(¯ ) vérifiant l’équation en chaque point de Ω.


La formulation variationnelle de (P) est obtenue par intégration par parties. Elle s’´ecrit :





avec V  = v    H1(Ω) , v = 0 sur Γ0. Cette formulation est en fait définie d`es lors que a0 et les aij sont dans L(Ω), f dans L2(Ω) et g dans L21).
 Posons
 Il est immédiat que a est une forme bilinéaire continue et l une forme linéaire continue sur V . Si l’EDP de départ (2.9) vérifie les deux hypothèses d’ellipticité :



Par application du théorème de Lax-Milgram, on a donc existence et unicité d’une solution à la formulation variationnelle (Q) :

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