Approximation interne
1. Principe général
Soit Ω un domaine ouvert de IRn (n = 1,2 ou 3 en pratique), de frontière ∂Ω, et sur lequel on cherche à résoudre une équation aux dérivées partielles, munie de conditions aux limites.
En écrivant la formulation variationnelle, on obtient un problème de la forme
(Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V
ou V est un espace de Hilbert. Sous réserve que l’équation de départ ait de bonnes propriétés, c’est à dire par exemple qu’on soit dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, (Q) admet une solution unique u. Pour obtenir une approximation numérique de u, on va maintenant remplacer l’espace V qui est en g´en´eral de dimension infinie par un sous-espace Vh de dimension finie, et on va chercher `a résoudre le problème approché
(Qh) Trouver uh ∈
Vh tel que a(uh,vh) = l(vh), ∀vh ∈ Vh
Vh étant de dimension finie, c’est un fermé de V . V étant un espace de Hilbert, Vh l’est donc aussi. D’ou l’existence et l’unicité de uh, `a nouveau par exemple d’après le théorème de Lax-Milgram.
L’espace Vh sera en pratique construit `a partir d’un maillage du domaine Ω, l’indice h désignant la “taille typique” des mailles. Lorsque l’on construit des maillages de plus en plus fins, la suite de sous-espaces (Vh)h formera une approximation interne de V , c’est `a dire que, pour tout élément ϕ de V , il existe une suite de ϕh∈Vh telle que ||ϕ − ϕh|| → 0
quand h → 0. Cette méthode d’approximation interne est également appelée méthode de Galerkin.
Remarque : Dans le cas de la formulation plus générale
(Qt) Trouver u ∈ V
tel
que a(u,w) = l(w), ∀w ∈ W
le problème approché devient
(Qth) Trouver uh ∈
Vh tel que a(uh,wh) = l(wh), ∀wh ∈ Wh
et le caractère bien posé de (Qth) est équivalent aux deux conditions
Le première relation est appelée condition inf-sup discrète. Attention : ces propriétés doivent être démontrées. Rien ne garantit a priori que la condition inf-sup discrète sera vérifiée, même si la condition inf-sup est vérifiée.
2 . Interprétation de uh
On a a(u,v) = l(v),∀v ∈ V , donc en particulier a(u,vh) = l(vh),∀vh ∈ Vh, car Vh ⊂ V . Par
ailleurs, a(uh,vh) = l(vh),∀vh ∈
Vh. Par différence, on en déduit que
a(u −
uh,vh) = 0, ∀vh ∈ Vh (2.11)
Dans le cas ou` a(.,.) est symétrique, il s’agit d’un produit scalaire sur V . uh peut alors être
interprétée comme la projection orthogonale de u sur Vh au sens de a(.,.).
3.Estimation d’erreur
On a :
a(u −
uh,u −
uh) = a(u −
uh,u −
vh + vh − uh) ∀vh ∈ Vh
= a(u − uh,u − vh) + a(u − uh,vh − uh)
Or vh − uh ∈
Vh. Donc a(u − uh,vh − uh) = 0 d’apr`es (2.11). On a donc :
a(u − uh,u − uh) = a(u
− uh,u − vh) ∀vh ∈ Vh (2.12)
a étant coercive, il existe α > 0 tel que a(u − uh,u − uh) ≥ α||u − uh||², ou ||.|| est une norme sur V . Par ailleurs, a étant continue, il existe M > 0 tel que a(u − uh,u − vh) ≤ M||u − uh ||.||u − vh.|| En réinjectant ces deux inégalités de part et d’autre de (2.12) et en simplifiant par || u − uh ||
on obtient
ou d est la distance induite par ||.||. Cette majoration est appelée lemme de Céa. Elle
ramène l’étude de l’erreur d’approximation u − uh à l’étude de l’erreur d’interpolation d(u,Vh).