Elément fini de Lagrange

Définition : Un élément fini de Lagrange est un triplet (K,Σ,P) tel que
• K est un élément géométrique de IRn (n = 1, 2 ou 3), compact, connexe, et d’intérieur non vide.
• Σ = {a₁, . . . ,a_N} est un ensemble fini de N points distincts de K.

• P est un espace vectoriel de dimension finie de fonctions réelles définies sur K, et tel que Σ soit P-unisolvant (donc dim P = N).

Définition : Soit (K,Σ,P) un élément fini de Lagrange. On appelle fonctions de base locales de l’élément les N fonctions p_i (i = 1, . . . ,N) de P telles que

 p_i(a_i) = δ_ij            1 ≤ i,j ≤ N.           (3.2)

On vérifie aisément que (p₁, . . . ,p_N) ainsi définie forme bien une base de P.

Définition : On appelle opérateur de P-interpolation sur Σ l’opérateur π_k qui, à toute fonction v définie sur K, associe la fonction π_kv de P définie par

est donc l’unique élément de P qui prend les mêmes valeurs que v sur les points de Σ.