Cours d'analyse fonctionnel

COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1. Représentations
1.1. Représentation tabulaire
1.2. Représentations graphiques
1.2.1. Représentations planes
1.2.2. Représentations 3D
1.2.3. Représentations vectorielles
1.2.4. Propriétés des représentations graphiques
1.3. Représentations analytiques
2. Fonctions
2.1. Dépendance et indépendance
2.2. Domaine d'existence
2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes
2.4. Fonctions constantes
2.5. Fonctions périodiques
2.6. Fonctions composées et élémentaires
2.7. Limite et continuité des fonctions
2.7.1. Asymptotes
3. Logarithmes
3.1. Bases vulgaires
3.2. Base décimale et nepérienne
3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)
4. Produit scalaire fonctionnel

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles et des intégrales. A ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il est difficile de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit plutôt d'un domaine d'études. Par ailleurs, c'est à cause de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental de l'analyse dans le chapitre de calcul différentiel et intégral plutôt qu'ici.
Pourquoi ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La raison vient pour des raisons historiques à l'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun :
- L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est parfois pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.
- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

Remarque: Avant de commencer la lecture de ce qui va suivre, il peut être utile de rappeler au lecteur que la définition du concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires y relatives) sont données dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

REPRÉSENTATIONS

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.
Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons de "fonction bivalente", etc.

REPRÉSENTATION TABULAIRE

Parmi le mode de représentation visuel des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante  et les valeurs correspondantes, dites "variables transformées" de la fonction dans une autre colonne ou ligne alignée.
Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.
Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son ensemble de définition.
Cependant, cette méthode est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.

REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes (cf. chapitre sur les Nombres) peuvent tous êtres représenté le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique (ligne droite) infini.
Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe:
1. Un point O appelé "origine"
2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale
3. Une unité de mesure (représenté habituellement par un petit trait vertical : la "graduation")
Tel que :

  (16.1)

Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement et choisissons la direction de gauche à droite.

Remarque: Le point (lettre) O, représente très fréquemment le nombre zéro en mathématique mais nous pourrions très bien choisir de mettre l'origine ailleurs. Par exemple, en physique le point O est souvent positionné à l'emplacement du barycentre d'un système.

Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont nous avons parlé soient ordonnés implique que tout nombre est représenté par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, deux nombres réels distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.
Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image.

REPRÉSENTATIONS PLANES

Il existe outre les représentations unidimensionnelles d'autres de dimensions supérieures (ouf!) qui nous permettent de tracer non plus que des simples points sur une droite unidimensionnelle mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit :
Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur un axe horizontal, appelé "axe des abscisses" ou "axe des x", faire correspondre une valeur y au travers d'une fonction f :

    (16.2)

reportée sur un axe vertical, appelé "axe des ordonnées" ou "axe des y" qui passe par le croisement défini par l'origine O tel que (exemple arbitraire) :

  (16.3)

L'ensemble des points du plan noté sous les variantes XOY, XY ou encore xOy, Oxy, xy, dont les abscisses représentent par tradition les valeurs de la variable indépendante et les ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique plan" de cette fonction. S'il n'y a pas de confusion possible nous dirons simplement "graphique".
Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaires (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler "quadrants".

Remarque: Lorsque nous souhaitons mettre en évidence un point particulier de la fonction représentée, nous y dessinons un petit rond tel que présenté ci-dessus.

Un autre cas classique de représentation graphique plane connu par un grand nombre d'étudiants est le tracé des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients réels.
Effectivement, pour résoudre les équations polynomiales du second degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique), il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à ses élèves de donner une expression algébrique des racines de :

  (16.4)

données par, rappelons-le :

  (16.5)

une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il y en a deux distinctes réelles) sont données par l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (bien évidemment, si l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersections...) :

  (16.6)

La représentation graphique étant généralisable aux équations polynomiales du 3ème, 4ème et 5ème degré (nous démontrerons bien plus loin, à l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas possible d'obtenir une expression algébrique générale des racines d'une équation polynômiale du 5ème degré et supérieur).
De même, les graphiques sont un outil qualitatif puissant dans le domaine des statistiques (cf. chapitre de Statistiques) comme point de départ de l'analyse de données (histogrammes, fromages, boîtes à moustaches, radars, nuages de points,...). Les hypothèses et idées qui sont générées par l'analyse graphique peuvent être investiguées avec des outils statistiques avancés.
Voici par exemple un graphique (histogramme) pris du chapitre de Génie Industriel très courant dans le domaine des statistiques et de la gestion de projets dans l'industrie mondiale:

  (16.7)

Les histogrammes permettent d'observer les distributions et de décider de manière qualitative si elle s'ajuste à un modèle théorique particulier.

Les graphique peuvent permettre également d'observer les changements au cours du temps de (séries temporelles, cartes de contrôle):

  (16.8)

et encore à bien d'autres choses... que nous verrons tout au long des pages de ce site Internet.

REPRÉSENTATIONS 3D

Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tridimensionnelle), c'est-à-dire dont un paramètre dépend de deux autres, le principe reste le même à la différence que le nombre de quadrants double.
Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente était longue à mettre en place il y a une dizaine d'années mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce problème (de temps) est assez bien résolu...
Ce type de représentation est suffisamment important en physique appliquée pour que nous y arrêtions un instant en faisant des exemples typiques sur plusieurs pages des commandes les plus importantes avec Maple (même s'il existe de nombreux ouvrages sur le sujet c'est trop important pour que nous omettions ces exemples).
> restart;
> with(plots):
Nous prenons une fonction 3D quelconque:
> f:=(x,y)->12*x/(1+x^2+y^2);
Nous définissons le domaine d'analyse:
> xrange:=-10..10;yrange:=-5..5;
et nous faisons un plot simple:
> plot3d(f,xrange,yrange);

  (16.9)

Améliorons un peu l'aspect:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchnogrid, grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], labels=[`x`,`y`,`f(x,y)`], labelfont=[TIMES,BOLD,12], title=`Graphique rempli`, titlefont=[TIMES,BOLD,12], scaling=unconstrained, orientation=[-107,68]);

  (16.10)

Traçons les courbes de niveau (cf. chapitre de Géométrie différentielle):

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour);

  (16.11)

C'est pas très beau donc améliorons cela:

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour,contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)],grid=[80,50],shading=ZHUE,axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained,orientation=[-107,68]);

  (16.12)

Avec une petite rotation pour voir du dessus:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchcontour, contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)], grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained, orientation=[-90,0]);

  (16.13)

Et en coupe:

> plot(f(x,2),x=xrange);

  (16.14)

Ou avec des coupes multiples:

>display([seq(plot(f(x,y),x=xrange),y=yrange) ]);

  (16.15)

Le lecteur pourra aussi animer le précédent graphique avec la commande suivante:

> display([seq(display([plot(f(x,k/5),x=xrange), textplot([6,5,cat(`y=`,convert(evalf(k/5,2),string))],font=[TIMES,BOLD,16])]),k=-25..25)],insequence=true, title=`Animation`,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);

voilà pour un exemple typiquement simple des manipulations standards d'un ingénieur dans l'entreprise utilisant des graphiques.

REPRÉSENTATIONS VECTORIELLES

Il est aussi fréquemment fait usage des représentations graphiques dans le cadre de la géométrie analytique pour simplifier les analyses ou faire des démonstrations de théorèmes connus sous forme visuelles (il faut cependant ne pas en abuser!).
Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de manière simpliste en représentant graphiquement la distance entre deux points et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) qui sera supposé connu.
Ainsi, représentons trois points sur un graphique plan dans lequel a été défini un repère tel que présenté dans le graphique ci-dessous :

  (16.16)

Si et  (comme sur la figure ci-dessus), les points  sont les sommets d'un triangle rectangle. Par application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

  (16.17)

Sur la figure, nous voyons que :

 et     (16.18)

Puisque , nous pouvons écrire :

  (16.19)

Si , nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme", "module" ou encore "distance" que nous avions déjà défini dans le cadre de note étude de l'analyse vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Bien évidemment, si nous considérons deux points , nous pouvons déterminer si un troisième point est sur la médiatrice (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment (par définition même de la médiatrice) :

  (16.20)

Comme  sont connus, nous pouvons facilement exprimer une "expression analytique" de la médiatrice du type :

  (16.21)

où a, b sont des constantes et où tout point qui satisfait cette relation, qui est en l'occurrence l'équation d'une droite, se trouve sur la médiatrice.
Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu du segment de droite est donné par :

  (16.22)

Donc nous voyons qu'avec une simple représentation graphique, nous pouvons obtenir des résultats qui sont parfois (...) plus évident pour les étudiants.
Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts sur lesquels nous reviendrons et faire quelques rappels.
Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) de degré 1 à coefficients réels constants :

  (16.23)

est l'expression analytique de ce que nous appelons une "droite" de "pente" a et "d'ordonnée à l'origine" b (quand ) . Bien évidemment, si :

  (16.24)

la droite est horizontale si nous la représentons graphiquement puisque y est constant pour tout x et vaut alors b. Inversement, si :

  (16.25)

la droite est une verticale.

PROPRIÉTÉS DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier les graphiques plans) il est possible d'extraire certaines propriétés de base. Voyons les plus importantes à connaître pour les graphiques plans d'une fonction à une variable :

  (16.26)

P1. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées si le changement de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

  (16.27)

P2. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des abscisses si le changement de y en -y ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

  (16.28)

P3. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine si le changement simultané de y en -y et de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

  (16.29)

P4. Soit une fonction , si nous ajoutons une constante à cette fonction tel que nous écrivions :

  (16.30)

alors le graphique de f est déplacé (ou "translaté") verticalement vers le haut d'une distance tel que présenté sur la figure suivante:

  (16.31)

Et inversement si mais que :

  (16.32)

alors le graphique est bien évidemment translaté verticalement vers le bas:

  (16.33)

Nous pouvons aussi envisager des translations horizontales de graphiques. Précisément, si , alors est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons :

  (16.34)

ce qui graphiquement est représenté par:

  (16.35)

et inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons :

  (16.36)

comme le montre le graphique ci-dessous:

  (16.37)

Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique, il suffit de multiplier la fonction par une constante et respectivement tel que :

  (16.38)

ce que nous pouvons représenter graphique par:

  (16.39)

et:

  (16.40)

Pour étirer ou comprimer horizontalement un graphique, il suffit de même, de multiplier la fonction par une constante et respectivement ou tel que :

  (16.41)

ce que nous pouvons représenter sous forme graphique:

  (16.42)

et:

  (16.43)

Remarque: Translater, étirer, comprimer un graphique ou lui faire subit une symétrie c'est le transformer. Le graphique résultant de ces transformations est appelé le "transformé" du graphique de départ.

Définitions: Nous disons qu'une fonction f est :
- Une "fonction croissante" ou "fonction croissante au sens large" sur I si pour tout  couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.44)

- Une "fonction décroissante" ou "fonction décroissante au sens large" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.45)

Remarque: Une "fonction monotone" ou "fonction monotone au sens large" sur I si elle est croissante sur I ou décroissante.

-Une "fonction strictement croissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.46)

- Une "fonction strictement décroissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.47)

Remarque: Nous disons qu'une "fonction strictement monotone" sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

REPRÉSENTATIONS ANALYTIQUES

Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que nous cherchons à analyser.
Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opérations qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site internet.
Si la dépendance fonctionnelle  est telle que f est une expression analytique, nous disons alors que la "fonction y de x" est "donnée analytiquement". Voici quelques exemples d'expressions analytiques simples :

, ,   (16.48)

Lorsque nous avons déterminé l'équation de la médiatrice, nous avons obtenu une expression analytique de la droite visuelle qui l'a caractérise sous la forme d'une fonction du type :

  (16.49)

qui rappelons-le, est donc l'expression analytique l'équation d'une droite, appelée également "équation linéaire" ou "fonction affine", sur un plan dont si deux points sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement vertical sur l'accroissement horizontal tel que :

  (16.50)

Une application sympathique et triviale consiste à démontrer analytiquement que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites données par les équations :

  (16.51)

Les droites se coupent en un point (x, y) si et seulement si les valeurs de y sont égales pour un certain x, c'est-à-dire :

  (16.52)

La dernière équation peut être résolue par rapport à x si et seulement si . Nous avons donc montré que les droites  se coupent si et seulement si . Donc, elles ne se coupent pas (elles sont parallèles) si et seulement si . De façon assez simple en appliquant le théorème de Pythagore, il n'est pas compliqué de déterminer que l'équation d'un cercle de centre C(h, k) à pour équation (nous avons pour habitude en mathématique de ne pas expliciter y pour l'équation du cercle ainsi, l'équation de ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique et parlante)

  (16.53)

Dans ces exemples les fonctions sont exprimées analytiquement par une seule formule (égalité entre deux expressions analytiques) qui définit dans un même temps le "domaine naturel de définition" des fonctions.
Définition: Le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression analytique est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles l'expression du membre droit a une valeur bien déterminée.
Par exemple, la fonction :

  (16.54)

est définie pour toutes les valeurs de x, excepté la valeur  où nous avons une singularité (division par zéro).

Remarque: Il existe une infinité de fonction et nous ne pouvons toutes les exposer ici, cependant nous en rencontrerons plus d'un millier sur l'ensemble du site et cela devrait amplement suffire à se faire une idée de leur étude.

 2. Fonctions

- contenu en provenance du site sciences.ch et http://mathematique.coursgratuits.net