Cours d'analyse fonctionnel
Cours d'analyse fonctionnel
COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE
1. Représentations1.1. Représentation tabulaire
1.2. Représentations graphiques
1.2.1. Représentations planes
1.2.2. Représentations 3D
1.2.3. Représentations vectorielles
1.2.4. Propriétés des représentations graphiques
1.3. Représentations analytiques
2. Fonctions
2.1. Dépendance et indépendance
2.2. Domaine d'existence
2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes
2.4. Fonctions constantes
2.5. Fonctions périodiques
2.6. Fonctions composées et élémentaires
2.7. Limite et continuité des fonctions
2.7.1. Asymptotes
3. Logarithmes
3.1. Bases vulgaires
3.2. Base décimale et nepérienne
3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)
4. Produit scalaire fonctionnel
Pourquoi ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La raison vient pour des raisons historiques à l'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun :
- L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est parfois pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.
- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.
Remarque: Avant de commencer la lecture de ce qui va suivre,
il peut être utile de rappeler au lecteur que la définition du
concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires
y relatives) sont données dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.
REPRÉSENTATIONS
Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons de "fonction bivalente", etc.
REPRÉSENTATION TABULAIRE
Parmi le mode de représentation visuel des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendanteTelles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.
Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son ensemble de définition.
Cependant, cette méthode est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.
REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes (cf. chapitre sur les Nombres) peuvent tous êtres représenté le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique (ligne droite) infini.
Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe:
1. Un point O appelé "origine"
2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale
3. Une unité de mesure (représenté habituellement par un petit trait vertical : la "graduation")
Tel que :
(16.1)
Remarque: Le point (lettre) O, représente très fréquemment
le nombre zéro en mathématique mais nous pourrions très bien
choisir de mettre l'origine ailleurs. Par exemple, en physique
le point O est souvent positionné à l'emplacement
du barycentre d'un système.
Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont
nous avons parlé soient ordonnés implique que tout nombre est
représenté
par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, deux nombres réels
distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image.
REPRÉSENTATIONS PLANES
Il existe outre les représentations unidimensionnelles d'autres de dimensions supérieures (ouf!) qui nous permettent de tracer non plus que des simples points sur une droite unidimensionnelle mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit :Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur un axe horizontal, appelé "axe des abscisses" ou "axe des x", faire correspondre une valeur y au travers d'une fonction f :
(16.3)
Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaires (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler "quadrants".
Remarque: Lorsque nous souhaitons mettre en évidence un
point particulier de la fonction représentée, nous y dessinons
un petit rond tel que présenté ci-dessus.
Un autre cas classique de représentation graphique plane
connu par un grand nombre d'étudiants est le tracé
des polynômes (cf. chapitre de Calcul
Algébrique) à coefficients réels.Effectivement, pour résoudre les équations polynomiales du second degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique), il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à ses élèves de donner une expression algébrique des racines de :
(16.6)
De même, les graphiques sont un outil qualitatif puissant dans le domaine des statistiques (cf. chapitre de Statistiques) comme point de départ de l'analyse de données (histogrammes, fromages, boîtes à moustaches, radars, nuages de points,...). Les hypothèses et idées qui sont générées par l'analyse graphique peuvent être investiguées avec des outils statistiques avancés.
Voici par exemple un graphique (histogramme) pris du chapitre de Génie Industriel très courant dans le domaine des statistiques et de la gestion de projets dans l'industrie mondiale:
(16.7)
Les histogrammes permettent d'observer les distributions
et de décider de manière qualitative si elle s'ajuste à un modèle
théorique particulier.
Les graphique peuvent permettre également d'observer
les changements au cours du temps de (séries temporelles, cartes
de contrôle):
(16.8)
et encore à bien d'autres choses... que
nous verrons tout au long des pages de ce site Internet.
REPRÉSENTATIONS 3D
Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tridimensionnelle), c'est-à-dire dont un paramètre dépend de deux autres, le principe reste le même à la différence que le nombre de quadrants double.Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente était longue à mettre en place il y a une dizaine d'années mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce problème (de temps) est assez bien résolu...
Ce type de représentation est suffisamment important en physique appliquée pour que nous y arrêtions un instant en faisant des exemples typiques sur plusieurs pages des commandes les plus importantes avec Maple (même s'il existe de nombreux ouvrages sur le sujet c'est trop important pour que nous omettions ces exemples).
> restart;
> with(plots):
Nous prenons une fonction 3D quelconque:
> f:=(x,y)->12*x/(1+x^2+y^2);
Nous définissons le domaine d'analyse:
> xrange:=-10..10;yrange:=-5..5;
et nous faisons un plot simple:
> plot3d(f,xrange,yrange);
(16.9)
Améliorons un peu l'aspect:
> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchnogrid, grid=[80,50],
shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], labels=[`x`,`y`,`f(x,y)`],
labelfont=[TIMES,BOLD,12], title=`Graphique rempli`, titlefont=[TIMES,BOLD,12],
scaling=unconstrained, orientation=[-107,68]);
(16.10)
Traçons les courbes de niveau (cf.
chapitre de Géométrie différentielle):
> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour);
(16.11)
C'est pas très beau donc améliorons cela:
> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour,contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)],grid=[80,50],shading=ZHUE,axes=FRAME,
tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained,orientation=[-107,68]);
(16.12)
Avec une petite rotation pour voir du dessus:
> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchcontour,
contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)], grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME,
tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained, orientation=[-90,0]);
(16.13)
Et en coupe:
> plot(f(x,2),x=xrange);
(16.14)
Ou avec des coupes multiples:
>display([seq(plot(f(x,y),x=xrange),y=yrange)
]);
(16.15)
Le lecteur pourra aussi animer le précédent graphique
avec la commande suivante:
> display([seq(display([plot(f(x,k/5),x=xrange),
textplot([6,5,cat(`y=`,convert(evalf(k/5,2),string))],font=[TIMES,BOLD,16])]),k=-25..25)],insequence=true,
title=`Animation`,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);
voilà pour un exemple typiquement simple des
manipulations standards d'un ingénieur dans l'entreprise utilisant
des graphiques.
REPRÉSENTATIONS VECTORIELLES
Il est aussi fréquemment fait usage des représentations graphiques dans le cadre de la géométrie analytique pour simplifier les analyses ou faire des démonstrations de théorèmes connus sous forme visuelles (il faut cependant ne pas en abuser!).Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de manière simpliste en représentant graphiquement la distance entre deux points et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) qui sera supposé connu.
Ainsi, représentons trois points
(16.16)
Bien évidemment, si nous considérons deux points
Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu du segment de droite est donné par :
Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts sur lesquels nous reviendrons et faire quelques rappels.
Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) de degré 1 à coefficients réels constants :
PROPRIÉTÉS DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier les graphiques plans) il est possible d'extraire certaines propriétés de base. Voyons les plus importantes à connaître pour les graphiques plans d'une fonction à une variable :(16.27)
(16.28)
(16.29)
(16.31)
(16.33)
(16.35)
(16.37)
(16.39)
et:
(16.40)
(16.42)
(16.43)
Remarque: Translater, étirer, comprimer un graphique ou
lui faire subit une symétrie c'est le transformer. Le graphique
résultant
de ces transformations est appelé le "transformé"
du graphique de départ.
Définitions: Nous disons qu'une fonction f est
:- Une "fonction croissante" ou "fonction croissante au sens large" sur I si pour tout couple
Remarque: Une "fonction
monotone" ou "fonction
monotone au sens large" sur I si elle est
croissante sur I ou
décroissante.
-Une "fonction strictement croissante" sur I si
pour tout couple
Remarque: Nous
disons qu'une "fonction
strictement monotone" sur I si
elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante
sur I.
REPRÉSENTATIONS ANALYTIQUES
Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que nous cherchons à analyser.Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opérations qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site internet.
Si la dépendance fonctionnelle
Définition: Le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression analytique est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles l'expression du membre droit a une valeur bien déterminée.
Par exemple, la fonction :
Remarque: Il existe une infinité de fonction et nous ne
pouvons toutes les exposer ici, cependant nous en rencontrerons
plus d'un
millier sur l'ensemble du site et cela devrait amplement suffire
à se faire une idée de leur étude.