Fonctions - Cours d'analyse fonctionnel - Mathématiques

FONCTIONS

COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1. Représentations
1.1. Représentation tabulaire
1.2. Représentations graphiques
1.2.1. Représentations planes
1.2.2. Représentations 3D
1.2.3. Représentations vectorielles
1.2.4. Propriétés des représentations graphiques
1.3. Représentations analytiques
2. Fonctions
2.1. Dépendance et indépendance
2.2. Domaine d'existence
2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes
2.4. Fonctions constantes
2.5. Fonctions périodiques
2.6. Fonctions composées et élémentaires
2.7. Limite et continuité des fonctions
2.7.1. Asymptotes
3. Logarithmes
3.1. Bases vulgaires
3.2. Base décimale et nepérienne
3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)
4. Produit scalaire fonctionnel

Définitions:
D1. Nous disons que y est une fonction de x et nous écrirons , etc., si à chaque valeur de la variable x appartenant à un certain domaine de définition (ensemble) D, correspond une valeur de la variable y dans un autre domaine de définition (ensemble) E. Ce que nous notons :

  (16.55)

La variable x est appelée "variable indépendante" ou "variable d'entrée" et y "variable dépendante".
La dépendance entre les variables x et y s'appelle une "dépendance fonctionnelle". La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de la dépendance fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations à x pour obtenir la valeur correspondant y.
Nous écrivons parfois :

  (16.56)

au lieu de :

  (16.57)

Dans ce dernier cas la lettre y exprime en même temps la valeur de la fonction et le symbole des opérations appliquées à x.

Remarque: Comme nous l'avons vu lors de notre étude du chapitre de Théorie Des Ensembles, une application (ou fonction) peut-être injective, bijective ou surjective. Il convient donc que le lecteur dont ces notions ne sont pas connues aille en priorité lire ces définitions.

D2. L'ensemble des valeurs x pour lesquelles la valeur de la fonction y est donnée par la fonction f(x) est appelé "domaine d'existence" de la fonction (ou domaine de définition de la fonction).
D3. La fonction  est dite "fonctions croissante" si à une plus grande valeur de la variable indépendante correspond une plus grande valeur de la fonction (de l'image). Nous définissons de manière analogue mais inverse la "fonction décroissante".
D4. Une "fonction constante" est une fonction pour laquelle à toute valeur de la variable indépendante correspond toujours une même image constante.
D5. La fonction  est dit "fonction périodique" s'il existe un nombre constant  tel que la valeur de la fonction ne change pas quand nous ajoutons (ou que retranchons) le nombre à la variable indépendante tel que:

  (16.58)

Ce qui correspondant à une translation selon x. La plus petite constante satisfaisant à cette condition est appelée "période" de la fonction. Elle est fréquemment notée T en physique.
D6. En calcul différentiel et intégral, l'expression :

  (16.59)

avec est d'un intérêt particulier. Nous l'appelons un "quotient d'accroissement" (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur ce sujet lors de notre étude du calcul différentiel et intégral).
D7.  Nous utilisons certaines propriétés des fonctions pour faciliter leur représentation graphique et leur analyse. En particulier, une fonction f(x) est dite "fonction paire" si :

  (16.60)

pour tout x dans son domaine de définition. Une fonction est dite "fonction impaire" si :

  (16.61)

pour tout x dans son domaine de définition.
Ainsi, pour résumer une fonction paire est une fonction qui ne dépend pas du signe de la variable et une fonction impaire change de signe quand nous changeons le signe de la variable (la spirale de Cornus dans le chapitre de Génie Civil est un bon exemple pratique de fonction impaire). Ce concept nous sera très utile pour simplifier certaines expressions très utiles en physique (comme les transformées de Fourier des fonctions paires ou impaires par exemple!).
Montrons maintenant que toute fonction f(x) est la somme d'une fonction paire g(x) et d'une fonction impaire h(x).

Remarque: Ce type de théorème qui consiste à relier un concept général par un cas particulier et son opposé se retrouve souvent en mathématiques. Nous retrouverons de tels exemples en calcul tensoriel avec les tenseurs symétriques et antisymétriques (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) ou encore en physique quantique avec les opérateurs hermitiques et anti-hermitiques (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Démonstration:
Posons :

  (16.62)

alors :

  (16.63)

Si nous sommons, nous avons dès lors :

  (16.64)

et en soustrayant :

  (16.65)

Il existe donc bien une décomposition paire et impaire de toute fonction.

C.Q.F.D.

D8. De façon générale, si f(x) et g(x) sont des fonctions quelconques, nous utilisons la terminologie et les notations données dans le tableau suivant :

Terminologie	Valeur de la fonction
Somme
Différence
Produit
Quotient

Tableau: 11.1  - Terminologie concernant les fonctions

Les domaines de définition de , , sont l'intersection I des domaines de définition de f(x) et de g(x), c'est-à-dire les nombres qui sont communs aux deux domaines de définition. Le domaine de définition de est quant à lui le sous-ensemble de I comprenant tous les x de I tels que .
D9. Soit y une fonction de u et u une fonction de la variable x, alors y dépend alors de x et nous avons ce que nous appelle une "fonction composée" et que nous notons:

ou   (16.66)

Pour la dernière notation, il faut lire "f rond g" et ne pas confondre le "rond" avec la notation du produit scalaire que nous verrons lors de notre étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Le domaine de définition de la fonction composée est soit identique au domaine tout entier de définition de la fonction , soit à la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de u sont telles que les valeurs correspondantes f(u) appartiennent au domaine de définition de cette fonction.
Le principe de fonction composée peut être appliqué non seulement une fois, mais un nombre arbitraire de fois.
Si x ne dépend pas d'une autre variable (ou qu'elle n'est pas elle même une fonction composée), nous disons alors que est une "fonction élémentaire".
Les principales fonctions élémentaires sont des fonctions dont l'expression est l'une des suivantes:
1. La "fonction puissance" :

  (16.67)

où m est un nombre positif différent de 1 (sinon il s'agit d'une fonction linéaire).

  (16.68)

2. La "fonction exponentielle" :

    (16.69)

où a est un nombre positif différent de 1.
3. La "fonction logarithmique" :

  (16.70)

où la base du logarithme est un nombre positif a différent de l'unité (cette fonction sera définie rigoureusement un peu plus loin).

Remarque: Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont appelées parfois des "fonctions transcendantes".

4. Les "fonctions trigonométriques" (cf. chapitre de Trigonométrie) :

...   (16.71)

5. Les "fonctions polynomiales" :

  (16.72)

où sont des nombres constants appelés coefficients et n est un entier positif que nous appelons "degré du polynôme" (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Il est évident que cette fonction est définie pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'elle est définie dans un intervalle infini.
6. Les "fractions rationnelles" qui sont des divisions de polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

  (16.73)

Remarque: Deux fractions rationnelles sont égales, si l'une s'obtient de l'autre en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même polynôme.

7. Les "fonctions algébriques" sont définies par le fait que la fonction est le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de variables élevées à une puissance rationnelle non entière.

Remarque: Il existe cependant un très grand nombre de fonctions que nous rencontrerons dans les différents chapitres du site. Citons par exemple les "fonctions de Bessel" (cf. chapitre des Suites Et Séries), les "fonctions lipschitziennes" (cf. chapitre de Topologie), les "fonctions de Dirac" (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral), les "fonctions de répartition et de distribution" (cf. chapitre de Statistiques), la "fonction gamma d'Euler" (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), etc.

8. Une application  est dite "fonction en escalier" si et seulement si il existe une subdivision  de [a, b]  tel que  et  et  tels que:

  (16.74)

LIMITE ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Nous allons considérer maintenant des variables ordonnées d'un type spécial, que nous définissons par la relation "la variable tend vers une limite". Dans la suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un rôle fondamental, étant intimement liée aux notions de base de l'analyse mathématique, la dérivée, l'intégrale, etc.
Définition: Le nombre a est appelé la "limite" de la grandeur variable x, si, pour tout nombre arbitrairement petit avons :

  (16.75)

Si le nombre a est la limite de la variable x, nous disons que "x tend vers la limite a".
Nous pouvons définir également la notion de limite en partant de considérations géométriques (cela peut aider à mieux comprendre... quoique pas toujours...) :
Le nombre constant a est la limite de la variable x, si pour tout voisinage donné, aussi petit qu'il soit, de centre a et de rayon , nous pouvons trouver une valeur x telle que tous les points correspondant aux valeurs suivantes de la variable appartiennent à ce voisinage (notions que nous avons défini précédemment). Géométriquement nous représentons cela ainsi:

  (16.76)

Remarque: Il devrait être trivial que la limite d'une grandeur constante est égale à cette constante, puisque l'inégalité  est toujours satisfaite pour  arbitraire.

Il découle également de la définition de la limite qu'une grandeur variable ne peut pas avoir n'importe comment deux limites. En effet, si :

 et   (16.77)  

avec , x doit satisfaire simultanément aux deux inégalités suivantes :

 et   (16.78)

pour  arbitrairement choisi. Mais si nous faisons une représentation géométrique identique à la précédente, nous voyons assez aisément que cela est impossible si :

  (16.79)

Il ne faut également pas s'imaginer que chaque variable doit nécessairement avoir une limite.
Définition: La variable x tend vers l'infini, si pour chaque nombre positif donné M nous indiquons une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs conséquentes de la variable (valeurs de la variable appartenant dans le voisinage défini à partir de valeur indiquée précédemment) x vérifient l'inégalité .
Nous pouvons vérifier ce genre de cas dans les suites arithmétiques, géométriques, ou harmoniques où chaque terme de la progression est une valeur que prend la variable x.
La variable x "tend vers plus l'infini", ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs conséquentes de la variable vérifient l'inégalité . C'est typiquement le genre de considération que nous avons pour des progressions divergentes vers l'infini ou à partir d'un certain terme de valeur égale à M tous les termes suivant sont supérieurs à M.
La variable x "tend vers moins l'infini" ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la variable vérifient l'inégalité .
Définition: Soit  une fonction définie dans un voisinage du point a ou en certains points de ce voisinage. La fonction  tend vers la limite b  lorsque x tendant vers a , si pour chaque nombre positif  , aussi petit qu'il soit, nous pouvons indiquer un nombre positif  tel que tous les x différents de a et vérifiant l'inégalité  satisfont également :

  (16.80)

L'inégalité  permet d'exprimer le côté (ou le sens) depuis lequel nous venons avec notre x. Car sur le système d'axe représentant des valeurs ordonnées, nous pouvons, pour une valeur donnée, venir de sa gauche ou de sa droite pour se rapprocher d'elle (imaginez-vous au besoin, un bus qui peut venir depuis un côté ou un autre de la route tant que la distance qui le sépare à l'arrêt qui nous intéresse est inférieur à ).
Si b est la limite de la fonction f(x) quand , nous écrivons alors sur ce site en tout les cas:

  (16.81)

Pour définir le côté depuis lequel nous venons en appliquant la limite, nous utilisons une notation particulière (rappelons que cela permet de connaître de quel côté de la route vient notre bus).
Ainsi, si f(x) tend vers la limite  quand x tend vers un nombre a en ne prenant que des valeurs plus petites que a, nous écrirons alors:

  (16.82)

(remarquez le petit – en indice) et nous appellerons  la "limite à gauche" de la fonction f(x) au point a (car rappelez vous que l'axe des ordonnées va de  à , donc les petites valeurs par rapport à une valeur donnée, se trouvent à gauche). Si x prend des valeurs plus grande que a, nous écrirons alors:

  (16.83)

(remarquez le petit + en indice) et nous appellerons  la "limite à droite" de la fonction au point a.
Définition: La fonction f(x) tend vers la limite b quand  si pour chaque nombre positif   aussi petit qu'il soit nous pouvons indiquer un nombre positif N tel que pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité , l'inégalité
Exemple:
Montrons que (nous supposons le résultat connu pour l'instant):

  (16.84)

Il faut démontrer que, quel que soit , l'inégalité  sera satisfaite dès que , où N est défini par le choix de . L'inégalité précédente est évidemment équivalente à , qui est satisfait si nous avons x:

  (16.85)

Nous admettons que l'exemple et la méthode sont discutables mais nous verrons plus tard les outils mathématiques adéquats pour arriver rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ, au résultat obtenu précédemment.
La signification des symboles  et , rend évidente celle des expressions :

f(x) tend vers b quand

et :

f(x) tend vers b quand

que nous notons symboliquement par:

et   (16.86)

Nous avons étudié le cas où la fonction f(x) tend vers une certaine limite b quand  ou . Considérons maintenant le cas où la fonction  tend vers l'infini quand la variable x varie d'une certaine manière.
Définition: La fonction f(x) tend vers l'infini quand , autrement dit f(x) est infiniment grande quand , si pour chaque nombre positif M, aussi grand qu'il soit, nous pouvons trouver un nombre  tel que pour toutes les valeurs de x différentes de a et vérifiant la condition , l'inégalité  est satisfaite.
Si f(x) tend vers l'infini quand , nous écrivons:

  (16.87)

Si f(x) tend vers l'infini quand , en ne prenant que des valeur positives ou que des valeurs négatives, nous écrivons respectivement :

et    (16.88)

Si la fonction f(x) tend vers l'infini quand  on écrit:

  (16.89)

et en particulier, nous pouvons avoir:

, , ,   (16.90)

Il peut arriver que la fonction f(x) ne tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand  (par exemple ), la fonction est alors bornée (cf. chapitre de Théorie des Ensembles).

Maintenant que nous avons grosso modo eu un aperçu du concept de limite, nous allons donner une définition extrêmement importante qui est un des piliers de beaucoup de domaines de la mathématique et de la physique.
Définition: Soit f une fonction définie sur . Soit , nous disons que nous avons une "fonction continue" en  si et seulement si:

  (16.91)

c'est-à-dire si (il faut pouvoir arriver à y lire le fait qu'on s'approche de manière infiniment petite d'une limite ce qui permet d'assurer le continuité) que  tel que  alors:

  (16.92)

Remarque: f est "continue à droite" (resp. à gauche) si nous rajoutons la condition  (resp. ).

Nous avons les corollaires triviaux suivants:
C1. f est continue en  si et seulement si f est continue à droite et à gauche en
C2. f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

ASYMPTOTES

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal.
L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développée dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c'est à dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent.
Définitions :
D1. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers une constante quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote horizontale" et dont l'équation est :

  (16.93)

D2. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote verticale" et dont l'équation est :

  (16.94)

Exemple:
La courbe représentative de la fonction f(x)=1/(x-1) admet la droite d'équation  comme asymptote verticale et  comme asymptote horizontale:

  (16.95)

D3. La droite d'équation  est une "asymptote oblique" à la courbe de la fonction f(x) si :

  (16.96)

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver facilement à l'aide des relations suivantes :

  (16.97)

Remarque: Attention une courbe peut admettre deux asymptotes obliques distinctes en + et en -

Pour rechercher une asymptote oblique éventuelle, il faut déjà être sur que la fonction f admet une limite infinie en + ou en - ensuite nous cherchons la limite en + ou en de f(x)/x .
Trois cas sont à considérer :
C1. La courbe représentative de f a pour direction asymptotique la droite d'équation :

  (16.98)

Exemple:
La fonction  possède entre autre une asymptote d'équation :

  (16.99)

C2. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des abscisses en est la direction asymptotique (fonction racine carrée par exemple)

  (16.100)

Exemple:
La fonction  (en rouge) ou ln(x) (en vert) ont une limite f(x)/x nulle et possèdent donc toutes deux une "branche parabolique" de direction Ox.

  (16.101)

C3. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des ordonnées en est la direction asymptotique. (nous parlons aussi de "branche parabolique" voir de "fonction carrée")

  (16.102)

Exemple:
La fonction  à une limite f(x)/x infinie et possède donc une "branche parabolique" de direction Oy.

  (16.103)

3. Logarithmes

- contenu en provenance du site sciences.ch et http://mathematique.coursgratuits.net