Logarithmes Et Produit scalaire fonctionnel - Cours d'analyse fonctionnel - Mathématiques

LOGARITHMES

COURS D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1. Représentations
1.1. Représentation tabulaire
1.2. Représentations graphiques
1.2.1. Représentations planes
1.2.2. Représentations 3D
1.2.3. Représentations vectorielles
1.2.4. Propriétés des représentations graphiques
1.3. Représentations analytiques
2. Fonctions
2.1. Dépendance et indépendance
2.2. Domaine d'existence
2.3. Fonctions croissantes ou décroissantes
2.4. Fonctions constantes
2.5. Fonctions périodiques
2.6. Fonctions composées et élémentaires
2.7. Limite et continuité des fonctions
2.7.1. Asymptotes
3. Logarithmes
3.1. Bases vulgaires
3.2. Base décimale et nepérienne
3.3. Nombre d'Euler (exponentielle)
4. Produit scalaire fonctionnel

Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes dans le chapitre traitant du calcul algébrique. Après un moment de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la mettre ici car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts de limite, domaine de définition et fonction exponentielle. Nous espérons que notre choix vous conviendra au mieux.
Soit la fonction exponentielle (bijective) de base quelconque a, où notée :

  (16.104)

pour laquelle il correspond à  chaque nombre réel x, exactement un nombre positif (l'ensemble image de la fonction est dans ) tel que les règles de calcul des puissances soient applicables (cf. chapitre de Calcul Algébrique).
Nous savons que pour une telle fonction, que si , alors f(x) est croissante et positive dans , et si , alors f(x) est décroissante et positive dans .

Remarques: 
R1. Si , lorsque x décroît vers des valeurs négatives, le graphique de f(x) tend vers l'axe des x. Ainsi, l'axe des x est une asymptote horizontale. Lorsque x croît par valeurs positives, le graphique monte rapidement. Ce type de variation est caractéristique de la "loi de croissance exponentielle" et f(x) est quelque fois appelée "fonction de croissance". Si , lorsque x croît, le graphique tend asymptotiquement vers l'axe des x. Ce type de variation est connue sous le nom de "décroissance exponentielle".
R2. En étudiant , nous excluons le cas et . Notons que si , alors n'est pas un nombre réel pour de nombreuses valeurs de x (nous rappelons que l'ensemble image est contraint à ). Si , n'est pas défini. Enfin, si , alors pour tout x et le graphique de f(x) est une droite horizontale.

Puisque la fonction exponentielle f(x) est bijective alors il existe une fonction réciproque et appelée "fonction logarithme" de base a notée :

  (16.105)

Et donc :

  (16.106)

si et seulement si .

En considérant  comme un exposant, nous avons les propriétés suivantes :

Propriétés	Justification

Tableau: 16.2  - Propriétés du logarithme en base a

Remarques:
R1. Le mot "logarithme" signifie "nombre du logos", "logos" signifiant "raison" ou "rapport".
R2. Les fonctions logarithme et exponentielle sont définies par leur base (le nombre a). Lorsqu'on utilise un base de puissance de 10 (10, 100, 1000,…) nous parlons alors de "système vulgaire" car ils ont pour logarithme des nombres entiers successifs.
R3. La partie entière du logarithme s'appelle la "caractéristique".

Il existe deux types de logarithmes que nous retrouvons presque exclusivement en mathématique et en physique : le logarithme en base dix et le logarithme en base e (ce dernier étant fréquemment appelé "logarithme naturel" ou plus exactement pour des raisons historiques justifiées "logarithme népérien").
D'abord celui en base 10:

  (16.107)

abusivement noté :

  (16.108)

et celui en base (eulérienne) e:

  (16.109)

historiquement noté:

    (16.110)

le "n" signifiant "népérien".

Remarque: Historiquement, c'est à John Napier (1550-1617) dont le nom latinisé est "Neper" que l'on doit l'étude des logarithmes et le nom aux "logarithmes népérien".

En français pour la fonction logarithmique en base 10 il faut pour calculer:

  (16.111)

se poser la question suivante : à quelle puissance  devons nous élever 10 pour obtenir x ?
Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:

  (16.112)

 ou autrement écrit:

  (16.113)

avec x étant connu et donc en base 10:

  (16.114)

Pour la fonction logarithmique en base eulérienne e (ou dite "base nepérienne") il faut pour calculer:

  (16.115)

se poser aussi la question suivante : à quelle puissance  devons nous élever le nombre e pour obtenir x ?
Formellement, cela consiste à résoudre l'équation :

    (16.116)

ou autrement écrit:

  (16.117)

avec x étant connu et donc:

  (16.118)

Techniquement, nous disons alors que la fonction exponentielle (voir plus bas les détails):

  (16.119)

est la bijection réciproque de la fonction ln(x).

  (16.120)

Mais quel est donc ce nombre "eulérien" appelé également "nombre d'Euler" ? Pourquoi le retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématique? D'abord déterminons l'origine de sa valeur :
Pour cela, il nous faut déterminer la limite (dont l'origine historique semblerait être l'étude de problèmes financiers par Euler) de :

  (16.121)

avec et quand .

Remarque: Le deuxième terme de l'égalité est donc typiquement le type d'expression que nous retrouvons dans les intérêts composés en finance (cf. chapitre d'Économie) ou dans tout autre type d'accroissement à facteur égal. Et ce qui nous intéresse dans le cas présent c'est quand ce type de d'accroissement tend vers l'infini.

L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que si nous faisons tendre la fonction écrite précédemment tend vers e et cette fonction a pour propriété particulière de pouvoir se calculer plus ou moins facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de Newton.
Donc d'après le développement du binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique) nous pouvons écrire :

  (16.122)

Ce développement, est similaire au développement de Taylor de certaines fonctions pour des cas particuliers de valeurs de développement (d'où la raison pour laquelle nous retrouvons ce nombre eulérien dans beaucoup d'endroits que nous découvrirons au fur et à mesure).
En effectuant certaines transformations algébriques évidentes, nous trouvons:

  (16.123)

Nous voyons de cette dernière égalité que la fonction est croissante quand  croît. En effet, quand nous passons de la valeur  à la valeur  chaque terme de cette somme augmente:

, etc.   (16.124)

Montrons que la grandeur variable  est bornée. En remarquant que :

, , etc.   (16.125)

Nous obtenons donc par anologie avec l'expression étendue en binôme de Newton déterminée plus haut la relation d'ordre suivante:

  (16.126)

D'autre part:

  (16.127)

Nous pouvons donc écrire l'inégalité :

  (16.128)

Les termes soulignés constituent une progression géométrique de raison (cf. chapitre de Suites et Séries) et dont le premier terme est 1. Par suite en utilisant les résultant obtenus dans le chapitre de Suites et Séries, nous pouvons écrire:

  (16.129)

Par conséquent nous avons :

    (16.130)

Nous avons donc prouvé que la fonction est bornée.
La limite:

  (16.131)

tend donc vers cette valeur bornée qui le nombre e dont la valeur est :

  (16.132)

Remarque: Comme nous l'avons démontré dans le chapitre traitant des Nombres ce nombre est irrationnel.

Nous pouvons alors définir la "fonction exponentielle naturelle" (réciproque de la fonction logarithme népérien) par :

  (16.133)

ou également parfois notée:

  (16.134)

Le nombre e et la fonction qui permet de le déterminer sont très utiles. Nous les retrouvons dans tous les domaines de la mathématique et de la physique et donc dans la quasi totalité des chapitres de ce site.
Les logarithmes ont plusieurs propriétés. Les voici (nous nous référons à une base X donnée):

  (16.135)

Si nous posons  et  nous avons donc :

  (16.136)

Si nous avons le cas particulier alors:

  (16.137)

Cherchons à exprimer:

    (16.138)

sous une forme différente. Posons ce qui nous amène au développement:

  (16.139)

Cherchons à exprimer maintenant  avec sous un forme différente. Posons :

  (16.140)

ce qui nous amène à:

  (16.141)

Il y a une relation assez utilisée en physique relativement aux changements de bases logarithmiques. La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques des logarithmes:

  (16.142)

La seconde relation:

  (16.143)

est un peu moins triviale et nécessite peut-être une démonstration (nous en aurons besoin lors de notre étude des fractions continues dans le chapitre de Théorie des nombres).
Démonstration:
Nous avons d'abord les équations équivalentes (de la première relation ci-dessus):

et   (16.144)

et nous procédons comme suit:

  (16.145)

Ce qui nous amène finalement à:

  (16.146) 

PRODUIT SCALAIRE FONCTIONNEL

Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte avec le produit scalaire vectoriel vu dans le chapitre de calcul vectoriel) peut paraître inutile lorsqu'il est étudié pour la première fois hors d'un contexte appliqué mais il connaît au fait de nombreuses applications pratiques. Nous en ferons par exemple directement usage dans le chapitre de physique quantique ondulatoire et de chimie quantique ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes trigonométriques via les séries et transformées de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) que nous retrouvons partout dans la physique contemporaine.
Cependant, si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul vectoriel et la partie y traitant du produit scalaire vectoriel, nous ne serions que trop recommander sa lecteur sans quoi de ce qui va suivre risque d'être un peu incompréhensible.
Nous nous plaçons dans l'espace des fonctions continues de l'intervalle [a,b] dans muni du produit scalaire définit par (nous retrouvons la notation spécifique du produit scalaire à sa version fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre définition du produit scalaire vectoriel):

  (16.147)

Une famille de polynômes orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie avec le produit scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, est donc une famille de polynômes tels que :

si   (16.148)

Nous rappelons qu'une famille orthogonale est libre (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Le développement suivant va nous rappeler le procédé de Gram-Schmidt (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) pour construire une famille orthogonale :
Soit une famille de polynômes linéairement indépendants définis sur [a,b] et V l'espace vectoriel engendré par cette famille. La famille définie par récurrence de la manière suivante :

  (16.149)

et est orthogonale et engendre V.

Démonstration:
Montrons par récurrence sur n que est une famille orthogonale qui engendre le même espace que . L'assertion est vérifiée pour . Supposons l'assertion vérifiée pour , pour nous avons :

  (16.150)

est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité :

  (16.151)

montre que et engendrent le même espace. est donc bien une famille orthogonale qui engendre V.

C.Q.F.D.

Exemple:

Considérons l'exemple très important en physique moderne qui est  l'ensemble des fonctions continues -périodiques qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Nous définissons donc le produit scalaire de deux fonctions de cet ensemble par :

  (16.152)

Le but de cette étude est de construire une base de  sur laquelle nous pouvons décomposer tout fonction -périodique.
L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

  (16.153)

Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus sont orthogonaux et forment donc une famille libre, de plus c'est une famille génératrice de l'espace vectoriel  car comme nous le démontrerons lors de notre étude des séries de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), nous avons les valeurs suivantes :

  (16.154)

où  est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

  - contenu en provenance du site sciences.ch et http://mathematique.coursgratuits.net