Séries Arithmétiques Et Séries de Taylor et MacLaurin - COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES - Mathématiques
SÉRIES ARITHMÉTIQUES
COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES
1. Suites1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe
Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r
n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en reprenant
(toujours) le même développement fait que pour la
série
de Gauss, le terme r se simplifie.
SÉRIES GÉOMÉTRIQUES
De même, avec un somme géométrique où nous avons pour rappel:Soit la suite de raison q=2 suivante:
FONCTION ZÊTA ET IDENTITÉ D'EULER
L'allemand Riemann a baptisé "zêta" une fonction déjà étudiée avant lui, mais qu'il examine lorsque la valeur est un nombre complexe (cf. chapitre sur les Nombres). Cette fonction se présente comme une série de puissances inverses de nombres entiers. C'est la série:
Remarque: Il est traditionnel de noter s la variable dont
dépend cette série.
Cette série a une propriété intéressante
mais si l'on reste dans le cadre des puissances entières
positives et non nulles:SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN
Les séries de Taylor et de MacLaurin constituent un outil pratique très puissant pour simplifier des modèles théoriques ou des calculs informatiques. Elles sont utilisées énormément dans tous les domaines de la physique mais on les retrouve aussi dans l'industrie dans couramment en ingénierie (plans d'expérience, méthodes numériques, gestion de la qualité), statistiques (approximations d'intégrales), finance (processus stochastiques), analyse complexe... Nous conseillons donc vivement au lecteur de bien lire les développements qui vont suivre.
Soit un polynôme (à une variable):
En appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le polynôme sur la valeur
Ainsi, certaines fonctions f(x) pouvant être approchés par un polynôme P(x) (une somme de puissances autrement dit...) centré sur la valeur
La dernière relation s'écrit aussi de manière plus conventionnelle... :
Raisons pour laquelle il arrive souvent que nous posions:
Voyons un exemple d'application avec une série
de MacLauin (avec
étant
nul) de
la fonction sin(x) et Maple:
(11.135)
Nous voyons donc bien dans cet exemple que la série
de MacLaurin ne permet que d'approcher une fonction en un point
avec un nombre limités de points. Mais plus nous prenons de termes
(mettre
100 termes dans l'exemples précédent) plus la validité est grande
sur tout le domaine de définition de la fonction. Au fait il est
possible de démontrer que la fonction sin(x)
est exactement exprimable en série de MacLaurin lorsque le nombre
de termes est infini. Nous disons alors que son "reste" est nul.
Par contre ceci n'est pas vrai pour toutes les
fonctions. Par exemple:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=0,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=0,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]);
(11.136)
Nous voyons bien ci-dessus que peu importe le nombre
de termes que nous prenons, la série de MacLaurin converge seulement
dans un domaine de définition compris entre ]-1,1[. Cette intervalle
est appelé le "rayon de convergence"
et sa détermination (celle des singularités) est un point crucial
dans de nombreux domaines de l'ingénierie, de la physique et de
l'analyse. Nous y reviendrons plus en détails dans le chapitre
d'Analyse Complexe.
Par contre nous pouvons décaler la série de MacLaurin
de la fonction précédente afin d'approcher la fonction avec une
série de Taylor en un autre point non singulier comme par exemple
en
valant
2:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=2,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]);
>p10 := taylor(1/(1-x^2),x=2,10);
>p10 := convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom):
tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]);
(11.137)
SÉRIES DE TAYLOR D'UNE FONCTION A 2 VARIABLES
Nous allons voir ici comment approcher une fonction f(x, y) de deux variables réelles en une somme de puissances (série de Taylor). Ce type d'approximation est très utilisé dans de nombreux domaines de l'ingénierie (cf. chapitre de Génie Industriel).Nous cherchons donc une approximation de f(x, y) au point
Pour cela, posons (rien ne nous interdit à priori de la faire) que:
RESTE DE LAGRANGE
Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques (cf. chapitre de Méthodes Numériques) à connaître l'erreur d'approximation du polynômeDéfinissons pour cela un "reste"
Considérons maintenant une fonction f(x) qui est
Soit une fonction g(t) une fonction définie par la différence d'une fonction f(x) supposé connue et une approximation de Taylor de cette même fonction:
(11.151)
Dérivons maintenant g(t) par rapport à t, nous trouvons:
ce qui s'écrit aussi:
Démonstration:
Elle découle simplement de l'expression de
Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour
Le polynôme: