Approche dynamique - Cours d'Analyse Mécanique




Le Plan
I. Liaisons mécanique
II.Approche cinématique
III. Approche dynamique
Actions mécaniques
Torseur mécanique
Torseurs normalisés
Liaisons normalisées
Détermination du nombre d'équations
Système d'équations
Isostatisme et hyperstatisme d'un mécanisme
Mobilité d'un mécanisme
Hyperstatisme - isostatisme
L'hyperstatisme, pratiquement c'est quoi ?
Mécanisme isostatique
Etude statique d'un mécanisme
Méthode générale de résolution d'un problème de statique
Quelle approche privilégier

Approche dynamique

Soit le graphe des liaisons connu pour un mécanisme donné ou le graphe proposé pour un mécanisme à concevoir:
- Soit Ns le nombre de sommets du graphe (le nombre de pièces)
- Soit NL le nombre d'arcs du graphe (le nombre de liaisons)

Actions mécaniques

On appelle action mécanique toute cause susceptible :
- soit de maintenir un corps au repos
- soit de créer un mouvement
- soit de déformer un corps

Torseur mécanique

Son écriture au centre de la liaison (centre de réduction) se réduit à ces deux vecteurs que l'on appelle ses éléments de réduction.

Torseurs normalisés



Liaisons normalisées

Cas des liaisons normalisées :
- Dans de nombreux problèmes, il est possible de négliger les frottements dans les liaisons entre solides car les puissances dissipées sont négligeables devant les puissances motrices, réceptrices et autres.
- En cas d'absence de frottement, une mobilité dans le torseur cinématique entraîne la non-existence d'actions résistantes dans la liaison, de sorte que la puissance des inter-efforts soit nulle.

Détermination du nombre d'équations

- L'approche dynamique consiste à étudier le mouvement ou l'équilibre de chacune des pièces du mécanisme
- Le mvt ou l'équilibre est nécessairement relatif au bâti pris comme référentiel :  on dénombre alors Ns-1 solides à étudier

 Si Es désigne le nombre d'équations obtenues après une étude exhaustive :
Détermination du nombre d'inconnues
Soit IS le nombre d'inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons du problème
- Le nombre d'inconnues Is =somme les nombres de inconnues d'actions mécaniques transmissibles par chacune des NL liaisons

- Avec l'hypothèse de liaisons parfaites, il y a dualité entre le torseur des actions mécaniques transmissibles et son torseur cinématique :


Système d'équations

Après avoir écrit l'équilibre pour chacun des Ns solides, on obtient un système de Es équations à Is inconnues

 Isostatisme et hyperstatisme d'un mécanisme

Le système précédente peut se mettre sous la forme :
- Dans le cas où Rang[Es]=Is, la seule solution du système est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous les paramètres d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons :  le mécanisme est isostatique
- Dans le cas Rang[Es]≠Is, le mécanisme est hyperstatique et on définit le degré d'hyperstatisme par :

Mobilité d'un mécanisme

La mobilité d'un mécanisme est défini comme :

Ce nombre exprime le nombre d'équations ne servant pas à la résolution (le plus souvent de la forme 0 = 0 pour l'équation homogène associée)
De par la dualité entre les approches cinématiques et statiques, on peut formuler la proposition suivante : Là où n'existe aucune composante d'action mécanique transmissible apparaît une possibilité de mouvement

Finalement, la forme du système d'équation peut être présentée de la manière suivante :

Hyperstatisme - isostatisme

-Un système est isostatique, si le nombre d'inconnues de liaison Is est égal au nombre Es d'équations indépendantes issues du P.F.D
-Un système est hyperstatique si le nombre d'inconnues des liaisons Is est supérieur au nombre Es d'équations indépendantes : La résolution du problème est impossible à l’aide seulement du P.F.D., on fait appel :
- soit des équations suppl. : lois sur le frottement, RDM, …
- soit des hypothèses simplificatrices : mécanisme plan, composantes négligées, …

L'hyperstatisme, pratiquement c'est quoi ?

−L'hyperstatisme se traduit par une surabondance de positionnement des différentes pièces. En construction cela a pour conséquence :
-  soit l'exigence d'une perfection géométrique de la part du fabricant
-  soit la conception de positionnement réglables
−Un mécanisme hyperstatique est plus rigide au sens de la RDM. Les contraintes induites ont donc un coût au sens financier
−L'hyperstatisme s'achète et les critères d'évaluation de la pertinence de ce choix dépassent très largement le cadre de ce cours
−L'isostatisme est en général recherché mais pas toujours possible ni souhaitable.


En résumé


Mécanisme isostatique

Un mécanisme est isostatique si le PFD suffit à déterminer toutes les inconnues des liaisons. On dit que c'est un mécanisme dont les liaisons bloquent juste les mobilités pour obtenir la cinématique désirée.
 Solution 1

 Solution 2

Etude statique d'un mécanisme

- Les liaisons mécaniques sont caractérisées par leurs degrés de liberté et leur torseur d'action mécanique transmissible.
- Torseur d'action mécanique transmissible : Un torseur d’action mécanique transmissible permet d’écrire les efforts et les moments transmissibles par une liaison entre deux solides S1 et S2.
- Le torseur {T} est composé :
− du vecteur R, somme des actions mutuelles entre ces deux pièces,
− du vecteur M, moment en un point des actions mutuelles entre ces deux pièces.

Méthode générale de résolution d'un problème de statique


Quelle approche privilégier


Pour une recherche de mobilité et de degré d'hyperstaticité, l'approche cinématique est à privilégier et ce pour deux raisons :
- Les grandeurs manipulées sont observables et mesurables
- Le nombre d'équations à manipuler est en général bien inférieur à celui obtenu par l'approche dynamique
Pour une recherche de la loi entrée-sortie d'un point de vue dynamique, l'approche dynamique est à privilégier. Le théorème de l'énergie cinétique donne un résultat immédiat.
L'approche dynamique enfin est à mener lorsque l'on cherche à dimensionner les composants d'un mécanisme. Il est alors seulement nécessaire de connaître les torseurs d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons.

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