Approche cinématique - Cours d'Analyse Mécanique

Le Plan
I. Liaisons mécanique
II.Approche cinématique
Étude cinématique
Schéma cinématique
Exemple : Borne réglable
Exemple : Serre-joint
Structure d'un mécanisme
Cycle / chaîne fermée d'un mécanisme
Nombre cyclomatique
Mécanisme à cycles
d.d.l. d'un mécanisme
Etude cinématique d’un mécanisme en chaine fermée
Détermination du nombre d'équations
Inconnues et indice de mobilité d'un mécanisme fermé
Mobilité d'un mécanisme
Mobilité utile et mobilité interne
Hyperstatisme et isostatisme d'un mécanisme
Système d'équations du mécanisme
Pourquoi le degré d'hyperstatisme ?
III. Approche dynamique

Étude cinématique

- ƒLa cinématique est l'étude des mouvements possibles entre solides sans tenir compte des causes qui les provoquent.
- ƒEn cinématique un solide est considéré comme indéformable.
- ƒIl peut correspondre à une seule pièce ou à un groupe de pièces qui n'ont aucun mouvement les unes par rapport aux autres au cours du fonctionnement normal. Ce groupe de pièces est un sous-ensemble cinématiquement lié.

 Schéma cinématique

ƒUn schéma cinématique est un graphe dans lequel les solides sont représentés par des lignes par leurs symboles de normalisation plan ou spatiale
ƒLe rôle d'un schéma cinématique est d’aider le concepteur à la compréhension du fonctionnement du mécanisme, la visualisation du paramétrage et facilite le calcul des torseurs cinématiques et mécaniques des liaisons.
ƒUn schéma cinématique est dit "minimal" lorsque elle ne représente que les liaisons entre les classes d'équivalence et non pas les solutions que les liaisons entre les classes d équivalence et non pas les solutions  technologiques.

Exemple : Borne réglable

Exemple : Serre-joint

Le serre-joint est un outil permettant de maintenir en position (d'immobiliser) une ou plusieurs pièces entre elles afin de leur apporter une modification comme : soudage collage perçage soudage, collage, perçage, ….

 Structure d'un mécanisme

Les mécanismes spatiaux : Les axes de Les mécanismes spatiaux : Les axes de rotation sont quelconques et les éléments se meuvent dans l’espace
Les mécanismes sphériques : Tous les axes de rotation sont concourants, les éléments n’effectuent que des rotations
Les mécanismes plans : Les axes de rotation sont parallèles, les mouvements des éléments sont coplanaires et des éléments sont coplanaires et normaux aux axes de rotation.

 Cycle / chaîne fermée d'un mécanisme

Cycle ou chaine fermée d'un mécanisme Cycle ou chaine fermée d'un mécanisme
Un cycle "chaine fermée" est un chemin fermé extrait d'un graphe qui part d'un sommet et y revient sans passer plus d'une fois par un même revient sans passer plus d une fois par un même sommet

Chaine complexe d'un mécanisme
Chaîne complexe est constituée de plusieurs cycles

Nombre cyclomatique

ƒOn appelle nombre cyclomatique d’un mécanisme noté γ est le nombre de cycles indépendants que constitue le graphe.
ƒLa théorie des graphes montre que ce nombre ne dépend que du nombre Ns de solides et du nombre N de liaisons :

ƒCe nombre définit le nombre minimal de chaîne à étudier pour décrire le mécanisme

Les deux chaînes fermées indépendantes sont : 1-2-5-1  et 2-3-4-5-2

Il existe une troisième chaîne fermée, 1-2-3-4-5-1, mais qui se déduit des deux précédentes

Mécanisme à cycles

On parle de mécanisme à cycles lorsque le graphe des liaison vérifie :
Le nombre de cyclomatique du graphe des liaisons est supérieur à zéro
ƒChaque sommet du graphe des liaisons appartient au moins à un cycle

Exemple : Mécanisme "Réducteur" représenté ci dessous par son schéma cinématique et le graphe des liaisons :

ƒL(1/0)= "liaison pivot "
ƒL(2/0)= "liaison pivot "
ƒL(1/2)="contact ponctuel"


 Chaîne complexe ou mécanisme à graphe complexe complexe

On parle de mécanisme à graphe complexe lorsque le graphe des liaisons vérifie :
Le nombre cyclomatique du graphe des liaisons est supérieur à zéro
ƒLe graphe comporte au moins un sommet n’appartenant à aucun cycle

On constate que :
ƒle solide 5 n'appartient à aucun cycle
ƒLe faite qu'un solide n’appartient à aucun cycle n'affecte pas le nombre cyclomatique, puisqu’il apporte à la fois un sommet et une liaison.

Mécanismes sans cycles (ou en chaîne ouverte)
ƒUn mécanisme sans cycle est un mécanisme dont le graphe des liaisons est à nombre cyclomatique nul
 C’est le cas de certains bras articulés utilisés en robotique

d.d.l. d'un mécanisme ?

- ƒLa mobilité ou d.d.l. d’un mécanisme est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement sa cinématique
ƒ- Chaque liaison dans un mécanisme présente un certains nombre de d.d.l. , mais la mobilité du mécanisme complet n’est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune des liaisons .
- ƒLe graphe de structure est utilisé pour déterminer la mobilité du mécanisme et de choisir les paramètres indépendants du problème mécanisme
- ƒLorsque le graphe des liaisons présente des fermetures, des équations supplémentaires sont possibles et permettent de réduire le équations supplémentaires sont possibles et permettent de réduire le nombre de d.d.l. du système

Etude cinématique d’un mécanisme en chaine fermée

ƒUn mécanisme en chaîne fermée est un mécanisme à un seul cycle, ne possédant pas de solide en dehors de la chaîne

ƒNombre de solides Ns = Nombre de liaisons Nl

Détermination du nombre d'équations 

ƒLes chaînes fermées indépendantes étant dénombrées, le mécanisme est déterminé par l'application de la loi de bouclage cinématique sur chacune des chaînes, on obtient donc :

ƒOn est don amené à résoudre 6 équations par fermeture, le nombre total des équations cinématiques est :

Exemple

L'exemple ci-dessous présente deux chaines fermés indépendantes :

Inconnues et indice de mobilité d'un mécanisme fermé

Le nombre Ic d'inconnues cinématiques d'un mécanisme est la somme des degrés
Nombre d'inconnues cinématique d'un mécanisme : Ic
Le nombre Ic d'inconnues cinématiques d'un mécanisme est la somme des degrés de liberté de chacune des NL liaisons

Ce nombre est un entier relatif, peut être positif ou négatif

Si Rang[NC]=IC, la seule solution est la nullité de toutes les inconnues, donc de tous  g[ C] C,les paramètres cinématiques → Le mécanisme forme alors une structure rigide, c.à.d. aucun mouvement n'est possible

Mobilité d'un mécanisme

Le degré de mobilité ou ddl d'un mécanisme est défini :
ƒ La mobilité ou ddl d'un mécanisme définit le nombre de mvts indépendants que comprend un mécanisme. Ce nombre est calculé comme :

ƒLa mobilité ou dll m représente le nombre d'inconnues cinématiques du mécanisme
ƒCes m inconnues ne sont pas choisies au hasard, elles correspondent aux paramètres du mouvement d'entrée
du mécanisme → C'est ainsi que l'on obtient la loi entrée sortie du mécanisme

Mobilité utile et mobilité interne

- On appelle mobilité utile mu, le nombre de mvts indépendants faisant intervenir au moins un des paramètres d'entrée-sortie du mécanisme
- On appelle mobilité interne mi, le nombre de mvts indépendants ne faisant intervenir aucun des paramètres d'entrée-sortie

- Mobilités utiles et internes relèvent de l'interprétation technologique que l'on donne aux différents mouvements possibles trouvés au sein du mécanisme.
- La théorie des mécanismes seule ne permet pas de faire de distinction !

Hyperstatisme et isostatisme d'un mécanisme

On appelle degré d’hyperstatisme h d'un mécanisme est déterminé par :

γ est le nombre cyclomatique du mécanisme

Le degré d'hyperstaticité étant un entier naturel, on déduit donc :

 

- Si h≠0 : Le mécanisme est dit hyperstatique → Il y a donc dépendance entre les Nc équations issues du bouclage cinématique (d’équations sous forme 0=0)
- Si h=0 : Le mécanisme est dit isostatique → les 6 équations issues du bouclage cinématique sont indépendantes

Système d'équations du mécanisme

Le système d'équations s'écrit :

Pourquoi le degré d'hyperstatisme ?

- Il exprime le nombre d'équations ne servant pas à la résolution (équations sous la forme 0 = 0)
- Il définit le nombre de degré de liberté pour garantir un montage et un fonctionnement sans contraindre le mécanisme

Interprétation

Comparons les deux exemples suivants :

Mécanisme 1
- Le système est rang de 2, donc de degré d'hyperstatisme : 6-2=4
- Le nombre d’inconnues est de 3, la mobilité est donc de 3-2=1
Mécanisme 2
- Le système est de rang de 3, donc de degré d'hyperstatisme 6-3=3
- Le nombre d’inconnues est de 3, la mobilité est donc de 3-3=0

La différence d’hyperstatisme entre les deux mécanismes est dû à la condition δ=0 empêchant la coaxialité des liaisons pivot et hélicoïdale dans le mécanisme 2

D'une manière générale, tout degré d’hyperstatisme correspond à une condition géométrique nécessaire au fonctionnement et donc à des contraintes de fabrication

Soit le mécanisme :

Ce mécanisme fonctionne avec la même cinématique que le mécanisme 1, par contre son ordre son ordre d’hyperstatisme est moindre. Ses contraintes de fabrication seront moins sévères (pas de contraintes angulaires dans la liaison pivot glissant).

Résumé

➨  Approche dynamique