Solution d'exercices 2 sur la formule de Taylor
(a) En utilisant le développement de McLaurin des fonctions
on obtient que
![](https://1.bp.blogspot.com/-4RHwIBLzPkg/WJjBSUQ_KzI/AAAAAAAAONc/7ux_KV_IpU8isTxeKWEdCoT_rMUcFW_QQCLcB/s1600/image016.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-R92QbJcEcO8/WJjBSmwikrI/AAAAAAAAONg/fanXK_BUdKkh2alQaw3Lq4KQEgLsNJisgCLcB/s1600/image017.png)
Depuis que le développement de MacLaurin de f d'ordre 5 est
![](https://2.bp.blogspot.com/-f9vS4s8OsPI/WJjBS6QoRDI/AAAAAAAAONk/mkkvpFIUbUEmTLLXKnMXkYG6Q1lqmUvAACLcB/s1600/image018.png)
En comparant des sommets du même ordre, on obtient :
![](https://3.bp.blogspot.com/-VOvaPidJeYk/WJjBS9XPyYI/AAAAAAAAONs/pb7ugHqUmZIaclXfaVW6AJ9tx01LnHTPgCLcB/s1600/image019.png)
Par conséquent, la dérivée de l'ordre 4 de f à x0 = 0 est 0 et la dérivée d'ordre 5 est -4.
(b) En utilisant le développement de MacLaurin des fonctions sinh t,
on obtient que
![](https://1.bp.blogspot.com/-C2yp2EX0B-Q/WJjBS0oEbgI/AAAAAAAAONo/OqAeN4af-2EyJProZMulo0UEC5_BrZrbwCLcB/s1600/image020.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-fEqIR1dIoiU/WJjBTZCGltI/AAAAAAAAON0/Xip7NVg0QusAP76HILfXbApqgt0Yfe2rACLcB/s1600/image021.png)
Depuis que le développement de MacLaurin de f d'ordre 5 est :
![](https://4.bp.blogspot.com/-cGy4SHomYJ4/WJjBTdF6oEI/AAAAAAAAONw/HG7dWgvjyYEMjtO1R9vMAohbwohryLJiQCLcB/s1600/image022.png)
En comparant des sommets du même ordre, on obtient :
![](https://4.bp.blogspot.com/-3XA7E4UxQuM/WJjBTn-jqxI/AAAAAAAAON4/NMqOVIJDpV82ghn4t5vtpZzcH1Ccz1jJgCLcB/s1600/image023.png)
Donc, la dérivée de l'ordre 4 de f à x0 = 0 est 48 et la dérivée d'ordre 5 est 0.
(c) En utilisant le développement de MacLaurin des fonctions
on obtient que
![](https://3.bp.blogspot.com/-MzdMMR-HGrk/WJjBTrvpq0I/AAAAAAAAON8/ZZZsLxjv64ETYjTnXSaWJxs-nsGzbAN1QCLcB/s1600/image024.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-wAJ51mIMN1c/WJjBUNjJ6fI/AAAAAAAAOOA/WmOFrMPR9LU9DnTSKZKM_-09fjHMQuinQCLcB/s1600/image025.png)
Depuis que le développement de MacLaurin de f d'ordre 5 est
![](https://4.bp.blogspot.com/-jzp9Ism5m0o/WJjBUPF7_II/AAAAAAAAOOM/bBphbrj0gMsOrUur3381FUkYKn7x2cGEgCLcB/s1600/image026.png)
En comparant des sommets du même ordre, on obtient
![](https://4.bp.blogspot.com/-rMhFAHJBOmA/WJjBUB1ilaI/AAAAAAAAOOI/3o77_LvcBFMMmEoZBqbiwy86DxsXHrp8gCLcB/s1600/image027.png)
Donc, la dérivée de l'ordre 4 de f à x0 = 0 est -23 et la dérivée d'ordre 5 est-180.
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