Solution d'exercices 1 sur la formule de Taylor
(a) En utilisant les développent des fonctions de MacLaurin sin(t) e log (1 + s) on obtient que :
![](https://1.bp.blogspot.com/-ZWo3T44Hlv4/WJjBPysz7NI/AAAAAAAAOMg/k25z6lnN7Dc8zSKLh1GxUCkLdGzshEVDQCLcB/s1600/image001.png)
D'où le développement de Taylor avec le reste de Peano d'ordre n à x0 pour
est :
![](https://1.bp.blogspot.com/-aZQL15Z0dzs/WJjBP-LcNOI/AAAAAAAAOMo/Tf8mPRwnU84lzsi2JKT7ePW18g35Rif-QCLcB/s1600/image002.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-kq80X6x5bUo/WJjBPyXRSdI/AAAAAAAAOMk/DqevVLXU9jUzhrr1mBbTDAGSLMOedqBfwCLcB/s1600/image003.png)
(b) En posant t = x + 1, on a que si x → -1, alors t → 0 et
![](https://3.bp.blogspot.com/-x6Qja8rz8hU/WJjBQXnIW2I/AAAAAAAAOMs/BlFJh2_93Twq4mEKfFGjo4XWOF5NbtNzQCLcB/s1600/image004.png)
En utilisant le développement de MacLaurin de la fonction
on obtient que
![](https://1.bp.blogspot.com/-itPCrxgNiHc/WJjBQQySNKI/AAAAAAAAOMw/Czu4fJbtGf0WY555kM66FIYbvoqQO7HKgCLcB/s1600/image005.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-XUzxpGYf8lo/WJjBQtIiHHI/AAAAAAAAOM0/zZ_hE2sTLigGc_dNGi-290gI_iAdnOmaQCLcB/s1600/image006.png)
D'où le développement de Taylor avec le reste de Peano d'ordre 4 à ![](https://1.bp.blogspot.com/-DUiPKRdflm4/WJjBQvxl3JI/AAAAAAAAOM8/uhvkv_g3gWsmidRA4XKCHcOtstBvpVh1ACLcB/s1600/image007.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-DUiPKRdflm4/WJjBQvxl3JI/AAAAAAAAOM8/uhvkv_g3gWsmidRA4XKCHcOtstBvpVh1ACLcB/s1600/image007.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-7mbUdVl9PuM/WJjBQkAPqMI/AAAAAAAAOM4/T_wWCoAp4MQWU5QhepG2S6jtKTaQZQRHgCLcB/s1600/image008.png)
(c) En posant t = x - 1, on a que si x → 1, alors t → 0 et
![](https://4.bp.blogspot.com/-L3YXRgdaHGo/WJjBQxIZDmI/AAAAAAAAONA/r4HTAOVj6aw43IhuTvUT5NOGOXJJxojvwCLcB/s1600/image009.png)
D'où le développement de Taylor avec le reste de Peano d'ordre 2 à x0 = 1 pour
est :
![](https://2.bp.blogspot.com/-h0_-dC7PeEM/WJjBRDGeeOI/AAAAAAAAONE/8RUqdjSZ0IkCu9qKrg_oSOzz9JQL3wy5wCLcB/s1600/image010.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-_pJGPJmH5hU/WJjBRB41IxI/AAAAAAAAONI/NqBN9ozoPAw6fJLGGsGVQx39vjx7c3CHwCLcB/s320/image011.png)
(d) En utilisant le devollopement MacLaurin de la fonction
Nous obtenons que :
![](https://1.bp.blogspot.com/-gtAYHBzMWJU/WJjBRgVpSPI/AAAAAAAAONM/Dy5JJGjgyTkJusXw5ron_NP8qBX_ZBCrQCLcB/s1600/image012.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-EM6Rywq4Jn8/WJjBR1iZr1I/AAAAAAAAONQ/lL89HoHqAQAQzSgLhXu5t1uW7FYRZ-PzACLcB/s1600/image013.png)
D'où le développement de Taylor avec le reste de Peano d'ordre 4 à x0 = 0 pour
est :
![](https://3.bp.blogspot.com/-mWuLPLkIUGc/WJjBSOFCLOI/AAAAAAAAONU/oROV_2kRp-I6CNkPaoKeRfiUKtJw4meYgCLcB/s1600/image014.png)
![](https://2.bp.blogspot.com/-RBEaqTfuclw/WJjBSGtlzzI/AAAAAAAAONY/OusiBDbgGUYteTj3jWuboy-hKnXyMyo_ACLcB/s1600/image015.png)
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