Exercices Corrigés Equations de Maxwell - Electromagnétisme

Exercice 1 : conservation de la charge



1-Écrivez les équations de Maxwell en forme différentiel et intégrales.
2- Prouver la conservation de la charge en utilisant les équations de Maxwell.




Exercice 2 : détermination de la force de charge

  
James Clerk Maxwellun point de charge q est maintenu à une distance d au-dessus d'un plan conducteur mis à la terre infinie.

1- Trouver le champ électrique sur le plan à la terre.
2-  En intégrant le stress tenseur de Maxwell sur ce plan, déterminer la force de la charge q
est maintenu à une distance d au-dessus d'un plan conducteur mis à la terre infinie.

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Exercice 3: les équations de Maxwell et des composants transversaux


1- Montrez que les quantités    sont des projecteurs orthogonaux sur l'espace des champs de vecteurs en trois dimensions
2- Décomposer le champ électrique et magnétique dans les parties longitudinales et transversales

ou 

en utilisant l'identité de Bianchi pour l'intensité du champ, à savoir montrez que le nombre de degrés de liberté codée dans Fμν est 3. En particulier, prouver que
alors que peut être exprimée en termes de seulement . Enfin, considérons les équations de Maxwell inhomogènes pour montrer que est complètement fixé par la densité de charge. Ainsi, le nombre de degrés de liberté dynamiques est seulement 2
3- Maintenant, résoudre l'équation de Maxwell pour et la remplacer par la solution dans les équations restantes non triviales.
Montrer que le résultat est une équation d'onde pour les composantes transversales du potentiel de la jauge et que la composante longitudinale découple complètement.

Exercice 4 : Décharge d'une sphère chargée


Soit une sphère chargée de charge Q(t), de rayon R et M un point a une distance r>R du centre, placée dans un fluide de conductivité .
Le but de cet exercice sera d'étudier la décharge de cette sphère dans le fluide.
1- Démontrer que le champ électrique ne dépend que de r et de t et que le champ magnétique est nul.
2- Calculer et en déduire .
3- A l aide d'une équation de Maxwell, déterminer une équation différentielle en Q(t). 
La résoudre et donner le temps caractéristique de décharge. 
4- Retrouver cette équation et le temps caractéristique en utilisant un bilan d'énergie électromagnétique. 

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