les équations de Maxwell et des composants transversaux - Solution de l'exercice - Electromagnétisme


Nous allons maintenant montrer que les équations de Maxwell décrivent en effet que deux degrés de liberté dynamiques. Nous rappelons que l'identité de Bianchi se traduit par les deux équations de Maxwell homogènes, une fois la force de champ est écrit en termes de champ électrique et magnétique:
 Les équations ci-dessus sont trivialement résolus une fois que nous exprimons et
en termes de quatre potentiel. D'autre part, nous pouvons laisser et de même pour avec :
Ensuite, les équations ci-dessus deviennent :

La composante longitudinale du champ magnétique est constante dans le temps, et a une divergence, boucle et donc laplacian égal à 0. Il est donc une constante. Depuis le champs doit disparaître à l'infini, il ne peut être identique que 0, donc:



L'évolution du champ magnétique est complètement déterminée par celle du champ électrique et ainsi de seulement 3 degrés de liberté sont présents dans .
Les deux autres équations de Maxwell sont
où nous avons permis pour un courant couplé au champ électromagnétique. En termes de , qu'ils lisent:
 
décomposant Encore une fois dans les composants longitudinaux et transversaux que nous obtenons:
qui fixe la partie longitudinale du champ électrique complètement. Par conséquent, la seule composante dynamique est , qui ne contient que deux degrés de liberté.
Voyons maintenant comment cela peut être obtenu en utilisant les quatre potentiels. Le inhomogène équations de Maxwell divisée de la manière suivante (rappel ):
 
La solution de l'équation première est formellement:
 Branchent les choses dans la deuxième équation, on obtient:
Nous pouvons reconnaître une équation d'onde pour la composante projetée. La combinaison entre parenthèses est en effet un projecteur étant donné que, si au carré, il est égal à lui-même. Dans espace des impulsions, nous pouvons voir qu'il projette sur la direction orthogonale à l'impulsion p:
 
Cela équivaut à imposer la condition Coulomb (dans ce  jauge). En effet, la jauge de Coulomb identifie les degrés de liberté physiques, même si elle ne constitue pas une contrainte invariant de Lorentz. En outre, la partie longitudinalene figure nulle part: il est complètement découplé.
 
 

Membres