Décharge d'une sphère chargée Equations de Maxwell - Solution de l'Exercice - Electromagnétisme


1- Démontrer que le champ électrique ne dépend que de r et de t et que le champ magnétique est nul.

Tout plan contenant la droite OM est plan de symétrie pour la répartition de charges, par conséquent :
On raisonne en coordonnées sphériques pour le champ magnétique : par raison de symétrie, le champ magnétique doit être à la fois porté par et : il est donc nul.

2- Calculer et en déduire .
Le théorème de Gauss appliqué à la sphère de centre O et de rayon r donne :
On en déduit :


3- A l aide d'une équation de Maxwell, déterminer une équation différentielle en Q(t). 
La résoudre et donner le temps caractéristique de décharge. 

On utilise l'équation de Maxwell-Ampère, avec un champ magnétique nul :
Avec :
Il vient :
Ainsi :

 4- Retrouver cette équation et le temps caractéristique en utilisant un bilan d'énergie électromagnétique

Un bilan d'énergie donne, au niveau local :
Soit :
D'où :
On retrouve ainsi l'équation précédente :

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