Formulation variationnelle

1. Exemple 1-D


Soit `a résoudre le problème


ou` f  et c sont des fonctions données  continues sur [a,b]. On supposera de plus que la fonction 
c est strictement positive sur [a,b]. Un tel problème est appel´e problème aux limites.

Définition:  Une  solution  classique  (ou  solution  forte)  de  (P)  est  une  fonction  de

C² ([a,b]) telle que u(a) = u(b) = 0 et  ∀x ]a,b[,  u”(x)+c(x)u(x) = f (x).

.


En faisant le produit scalaire L²(]a,b[) de l’´équation différentielle avec une fonction-test v∈D(]a,b[) (c’est a` dire en intégrant sur [a,b]), on a :
 

soit, en intégrant par parties le premier terme :

car v(a) = v(b) = 0 puisque v ∈ D(]a,b[). Chaque terme de cette ´équation a en fait un sens d`es lors que v∈H1(]a,b[). De plus, D(]a,b[) étant dense dans H1(]a,b[) (cf §1.4.3) ,cette équation est vérifiée pour tout v ∈ H1(]a,b[).

On peut donc définir le nouveau problème : 


Ce problème est la formulation variationnelle (ou formulation faible) du problème (P). Toute solution de (Q) est appelée solution faible. Il est immédiat que toute solution forte de (P) est aussi une solution faible.

 2. Exemple 2-D

Soit ouvert borné de IRn. On veut résoudre le problème 
 



Une solution classique de ce problème est une fonction de C2(¯ ) vérifiant (2.3) en tout point de Ω. Au passage, on voit que ceci impose que f soit C0(¯ ). Toute solution classique vérifie
 
donc :




soit par intégration par parties :


On peut donc définir le nouveau problème :

C’est la formulation variationnelle de (P). On voit aussi que ce problème est défini d`es lors que f∈L2(Ω).

3. Formulation générale

Les exemples précédents montre que, d’une fac¸on générale, la formulation variationnelle sera obtenue en faisant le produit scalaire L²(Ω) de l’´équation avec une fonction v appartenant à un espace V à préciser (c’est à dire en multipliant par v et en intégrant sur Ω), et en intégrant par parties les termes d’ordre les plus élevés en tenant compte des conditions aux limites du problème. On arrive alors a` une formulation du type :
Trouver  u  V    tel  que  a(u,v)  = l(v) v   V                      (2.5)


ou` a(.,.) est une forme sur V × V (bilinéaire si l’EDP de départ est linéaire) et l(.) est une forme sur V (´linéaire si les conditions aux limites de l’EDP de départ le sont).

Remarque : Une formulation plus générale est la suivante :
Trouver  u  V    tel  que  a(u,w)  = l(w) wW                    (2.6)
ou` a(.,.) est une forme bilinéaire sur V × W et l(.) est une forme linéaire sur W . V est alors appel´e espace des solutions et W espace des fonctions-tests. La formulation précédente (2.5) correspond donc au cas particulier W = V

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