Solutions d'exercice 1 des Filtres passifs - Circuits électriques
1) D’après le théorème de Millman, ![](https://3.bp.blogspot.com/-FHzIb-mcuIs/WEAnmhgFLMI/AAAAAAAANGQ/lVqwSr6d8Hsm_OrMHmLckf3VhqDLR6GAACLcB/s1600/image001.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-FHzIb-mcuIs/WEAnmhgFLMI/AAAAAAAANGQ/lVqwSr6d8Hsm_OrMHmLckf3VhqDLR6GAACLcB/s1600/image001.png)
2) Il faut identifier les deux expressions de
![](https://4.bp.blogspot.com/-kYvosCofQPk/WEAnmVwGErI/AAAAAAAANGM/g9oCHSedDdsEFAbsqM0JFUleqCFlt5HPQCLcB/s1600/image002.png)
En prenant le produit et le rapport membre à membre , on obtient : ![](https://4.bp.blogspot.com/-XfdHwNF35cI/WEAnmWb5-RI/AAAAAAAANGI/1sClcwXN_2wmtgV8mHH1RnRufcPJ7JlCQCLcB/s1600/image003.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-XfdHwNF35cI/WEAnmWb5-RI/AAAAAAAANGI/1sClcwXN_2wmtgV8mHH1RnRufcPJ7JlCQCLcB/s1600/image003.png)
Remarquons que l’expression de Q n’est pas celle d’un circuit RL série.
3)
est maximum quand
soit x=1 ou ω= ω0 Sa valeur maximale est
.
![](https://1.bp.blogspot.com/-QHcG1A5BXbk/WEAnmlSiUoI/AAAAAAAANGU/mspMbvYHk0MMroQStEigE00ceMW-JAKmQCLcB/s1600/image004.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-N-4J8xSMmmc/WEAnmsNNf3I/AAAAAAAANGY/IfWW9lSGxMYQvrNpIrYbsfyEoAfKIL-SgCLcB/s1600/image005.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-A9owiV7PpgQ/WEAnm3rtMUI/AAAAAAAANGc/tdi4lk9Y3SYNkzh2JJ5rVBZ7TSV6jzwBwCLcB/s1600/image006.png)
4)
![](https://3.bp.blogspot.com/-nXiCkHI1K3o/WEAnnAdEI3I/AAAAAAAANGg/XH2TYDeVP9Qx3vA_RmqlT5izCKi44WaOwCLcB/s1600/image007.png)
Soit
. En remplaçant les différentielles par des petites variations au voisinage de
, on obtient,
. Si Q est grand, la bande passante est sensiblement l’intervalle de fréquence pour lequel :
![](https://4.bp.blogspot.com/-lUA8sJSIXNQ/WEAnnLrs5QI/AAAAAAAANGk/I0B3moXV6LAwwv-E1COv-ZX_rSOd944AwCLcB/s1600/image008.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-ASCISJP3P74/WEAnnRnGklI/AAAAAAAANGo/7283oY_p6t8ugqB5kUAnG9vSJqJWnbWHgCLcB/s1600/image009.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-R-UPRXBLkCI/WEAnnd3E0VI/AAAAAAAANGs/L12uv4GCT8Ynt-t8N-W0wYDJfU5kPgIwgCLcB/s1600/image010.png)
![](https://1.bp.blogspot.com/-c1dem1TBAM8/WEAnnk7rXTI/AAAAAAAANGw/0J8TVbEVwek4qEg5TprmJRx4YSZ888D2QCLcB/s1600/image011.png)
5) Les pulsations de coupures sont les solutions de
dont les racines sont
. Comme une pulsation est positive, les deux solutions acceptables sont :
![](https://4.bp.blogspot.com/-crEZ0947WXk/WEAnnvQ8OkI/AAAAAAAANG0/FRRHmpTuMT0dNl1rXXDdczJOf1ISAmnSwCLcB/s1600/image012.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-FWBDoexeR0s/WEAnn2cArmI/AAAAAAAANG4/b8FSWtmw0c8afDrkNsiLnI7j9tiq81CFACLcB/s1600/image013.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-k573xL1iiEc/WEAnn4L0w-I/AAAAAAAANG8/R8sqTbqd6bkT6xQi9fdf5JI_w50F6ftAACLcB/s1600/image014.png)
6) Dans les deux cas,
.
![](https://1.bp.blogspot.com/-bDcTFwvIrJE/WEAnofNwPkI/AAAAAAAANHA/DYWqhHwutbc1DWpxhtHoHcTz6odCmWtxQCLcB/s1600/image015.png)
![](https://3.bp.blogspot.com/-7pEz9inVSpA/WEAnoYmBwrI/AAAAAAAANHE/EGgn_F0_lDQaiEtbI7S383xGYBWc0KFkwCLcB/s1600/image016.png)
![](https://4.bp.blogspot.com/-D5ugQRz1ITg/WEAnotzbR9I/AAAAAAAANHI/d4T0Q-bN-KIPXE_R9yrWZDkWgakX5l6KwCLcB/s1600/image017.png)
9) Ces résultats restent valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance r, à condition qu’on soit capable de faire varier ω sans changer V, ce qui est assez irréaliste. On peut songer à remplacer R parRr. gemg
Ils ne sont plus valables si l’appareil branché à la sortie a une impédance finie.
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