Exemples de résolutions d’équations différentielles
Exemples de résolutions d’équations différentielles
1- Définition
Soient I un intervalle de R non réduit à un point. Les fonctions a (et, au besoin, b) sont continues sur I, à valeurs réelles. Alors y′(t) + a(t)y(t) = 0 une équation différentielle linéaire, homogène, du premier ordre ; et y′(t)+a(t)y(t) = b(t) est une équation complète. Notons A une primitive sur I de a ; les solutions de l’équation proposée sont les fonctions
.
![](https://1.bp.blogspot.com/-_ApD_5AU4yc/VyU1iAAn61I/AAAAAAAAKK4/9wt7JaZgmJIxXqYIc7RE5s_WjLywVKi1gCLcB/s1600/image001.gif)
2- Sans second membre
2.1 Exemple
Résolvons l’´equation différentielle
: ici, a(t) = 2, donc
.
![](https://2.bp.blogspot.com/-5OC8Ze4trJg/VyU1iJaODXI/AAAAAAAAKLA/WhDj0tZfAIYhDK7120WDZIpx9Y8yf4oIACLcB/s1600/image002.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-OW4NYLzaUa0/VyU1iCmAxhI/AAAAAAAAKK8/fWUdzc3_OeQp46HDw-MD8A9GKusL6CxsgCLcB/s1600/image003.gif)
La solution générale de cette équation est donc
.
![](https://2.bp.blogspot.com/-YHVlOaLN66w/VyU1icx3ACI/AAAAAAAAKLE/er7gHs3hWmokOvAKsLpxzkOBkV61cibhgCLcB/s1600/image004.gif)
3.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
.
![](https://3.bp.blogspot.com/--yLdbIkc2aw/VyU1itfW3gI/AAAAAAAAKLI/hg09y9FujmMoXxXpjKeAECbDMnfPjzF_wCLcB/s1600/image005.gif)
Nous avons a(t) = 2, donc ![](https://4.bp.blogspot.com/-RIgNPH4a5yw/VyU1iunrE5I/AAAAAAAAKLM/Lg0OuioXw5A2RiZL1p6XBlUGpdpojkxZACLcB/s1600/image006.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-RIgNPH4a5yw/VyU1iunrE5I/AAAAAAAAKLM/Lg0OuioXw5A2RiZL1p6XBlUGpdpojkxZACLcB/s1600/image006.gif)
Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions
.
![](https://1.bp.blogspot.com/-q4MpNG22kew/VyU1ihoMfBI/AAAAAAAAKLQ/P1U7OvJG-8Iu0rpZgE3Dtq8MEI17rXs1gCLcB/s1600/image007.gif)
Il nous reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci est de la forme
Il vient :
![](https://4.bp.blogspot.com/-Nosl60WUpBQ/VyU1i7ODU8I/AAAAAAAAKLU/IBhsPqgBzxUjeQSCh5JUcRAd2ZG4K9gEQCLcB/s1600/image008.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-MA2kdnNaRQ0/VyU1ixek0PI/AAAAAAAAKLY/a4y4KzS2ogYTW6nnXQndxu6O06u3XWm5ACLcB/s1600/image009.gif)
Ceci nous ramène au système échelonné, formé des trois équations 2a = 1, 2(a + b) = −2 et b + 2c = 3.
La résolution nous donne a = 1/2, b = −3/2 et c = 9/4. La forme générale d’une solution est donc ![](https://1.bp.blogspot.com/-HjcNV0RO458/VyU1jOvDPdI/AAAAAAAAKLc/0w11XFp3n-Ai9AjWSjJ4lvztDc3okol3ACLcB/s1600/image010.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-HjcNV0RO458/VyU1jOvDPdI/AAAAAAAAKLc/0w11XFp3n-Ai9AjWSjJ4lvztDc3okol3ACLcB/s1600/image010.jpg)
3.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 2.
![](https://1.bp.blogspot.com/-32CHTC1fZAQ/VyU1jGU76FI/AAAAAAAAKLg/j49AIeYb2_4x0ZwnNsoTCoARxz27XEmYwCLcB/s1600/image011.gif)
Nous avons a(t) = 2t, donc
La solution générale de l’équation homogène y′ + 2ty = 0 est donc la fonction ![](https://3.bp.blogspot.com/-TM-rVoYLN5M/VyU1jfFawDI/AAAAAAAAKLo/eyBq2UBuhT8XcW9rbJ5QxYP9518QBueBgCLcB/s1600/image013.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-hIYw9hlikhg/VyU1jGTN3LI/AAAAAAAAKLk/9Yv7-6u6RTUlWrChX1Bt3xXfTVh-SfVCwCLcB/s1600/image012.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-TM-rVoYLN5M/VyU1jfFawDI/AAAAAAAAKLo/eyBq2UBuhT8XcW9rbJ5QxYP9518QBueBgCLcB/s1600/image013.gif)
Nous trouvons facilement une solution particulière de l’équation complète : il suffit de prendre
![](https://3.bp.blogspot.com/-dSqj4zv-okI/VyU1jU56ZRI/AAAAAAAAKLs/l1UsfaEXVPkndQvF-I43Mq8xPTnYJmBPACLcB/s1600/image014.gif)
La solution de l’équation complète est donc ![](https://4.bp.blogspot.com/-dU7hl8WUVf0/VyU1jTy6c5I/AAAAAAAAKLw/aHkf89sA7EoX7h_Q_Xg7ds9BEoLcZJ66ACLcB/s1600/image015.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-dU7hl8WUVf0/VyU1jTy6c5I/AAAAAAAAKLw/aHkf89sA7EoX7h_Q_Xg7ds9BEoLcZJ66ACLcB/s1600/image015.gif)
3.3 Exemple
Résolvons l’équation différentielle ![](https://3.bp.blogspot.com/-MYJlsSsfuZk/VyU1jpKYkBI/AAAAAAAAKL0/XF1q2AlxZ-QO4o-7o3w-wa6Yf3WlhnMrQCLcB/s1600/image016.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-MYJlsSsfuZk/VyU1jpKYkBI/AAAAAAAAKL0/XF1q2AlxZ-QO4o-7o3w-wa6Yf3WlhnMrQCLcB/s1600/image016.gif)
Ici, nous avons a(t) = 1, donc ![](https://3.bp.blogspot.com/-1YXSdtFVZOk/VyU1jrQjMwI/AAAAAAAAKL4/H_uAD7rNog8t_nc1HmX8uvX7w7h4cf9ZQCLcB/s1600/image017.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-1YXSdtFVZOk/VyU1jrQjMwI/AAAAAAAAKL4/H_uAD7rNog8t_nc1HmX8uvX7w7h4cf9ZQCLcB/s1600/image017.gif)
La solution générale de l’équation homogène est visiblement la fonction ![](https://3.bp.blogspot.com/-XVbXKVEEr-4/VyU1jxznm8I/AAAAAAAAKL8/SuHazPBgibEoT7-f6q8WzUcu-yppOXupACLcB/s1600/image018.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-XVbXKVEEr-4/VyU1jxznm8I/AAAAAAAAKL8/SuHazPBgibEoT7-f6q8WzUcu-yppOXupACLcB/s1600/image018.gif)
Il
nous faut maintenant déterminer une solution particulière de
l’équation complète ; la méthode de variation de la constante nous
donne ![](https://3.bp.blogspot.com/-eAjrX68230w/VyU1j8vPZAI/AAAAAAAAKME/NpOguUsEo8YcSDzhZXb_FpUvMv6RQNilQCLcB/s1600/image019.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-eAjrX68230w/VyU1j8vPZAI/AAAAAAAAKME/NpOguUsEo8YcSDzhZXb_FpUvMv6RQNilQCLcB/s1600/image019.gif)
La solution complète est donc ![](https://4.bp.blogspot.com/-mw6t1frxxwg/VyU1j9rlZvI/AAAAAAAAKMA/ayqx4W4782QPEGQYJJLLq1ErKFc1WuGlQCLcB/s1600/image020.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-mw6t1frxxwg/VyU1j9rlZvI/AAAAAAAAKMA/ayqx4W4782QPEGQYJJLLq1ErKFc1WuGlQCLcB/s1600/image020.gif)
3.4 Exemple
Résolvons l’équation différentielle ![](https://1.bp.blogspot.com/-5KusgVJ2VzM/VyU1kNemQ3I/AAAAAAAAKMI/aqdCJtM_0Pw31jJ1iEuhpBx5luHf-eu5gCLcB/s1600/image021.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-5KusgVJ2VzM/VyU1kNemQ3I/AAAAAAAAKMI/aqdCJtM_0Pw31jJ1iEuhpBx5luHf-eu5gCLcB/s1600/image021.gif)
Ici, nous avons a(t) = −2, donc
Les solutions de l’équation homogène sont visiblement de la forme ![](https://2.bp.blogspot.com/-Wk3IjKxvwBE/VyU1kJTfmSI/AAAAAAAAKMM/MUufth-JYQwE_LSRGDXL608OiQ6PvpY9ACLcB/s1600/image023.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-iNC4ssoZfzU/VyU1kNHrYUI/AAAAAAAAKMQ/aqTj_s2fkF89Ooeo2p7UkKTAVwEIzwdDACLcB/s1600/image022.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-Wk3IjKxvwBE/VyU1kJTfmSI/AAAAAAAAKMM/MUufth-JYQwE_LSRGDXL608OiQ6PvpY9ACLcB/s1600/image023.gif)
Il reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci sera de la forme
avec P polynomiale, de degré 2. Notons
alors :
![](https://3.bp.blogspot.com/-GMvpf6JdMtc/VyU1kfOOcfI/AAAAAAAAKMU/crdgFgkP0G8AzjUtviGS4CTrdQznoPy8ACLcB/s1600/image024.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-QmQzVmJ-JFI/VyU1kXTZ6yI/AAAAAAAAKMY/TLwRfxndnCM3DnfcS3bU6-h1bq2tUQJ5wCLcB/s1600/image025.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-zU59YqwZP0o/VyU1klRpu1I/AAAAAAAAKMc/0LlELyMxioUviJTrme5gLuur-HnQAQxfACLcB/s1600/image026.gif)
Ceci nous mène à a = 1 et b = 1.
Finalement, la solution générale de cette équation est ![](https://4.bp.blogspot.com/-qmtzts2Y0u0/VyU1kkmyCEI/AAAAAAAAKMg/-0g-5mVedLs4n4hWqpe6pthSDD9t6o0bwCLcB/s1600/image027.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-qmtzts2Y0u0/VyU1kkmyCEI/AAAAAAAAKMg/-0g-5mVedLs4n4hWqpe6pthSDD9t6o0bwCLcB/s1600/image027.gif)
3.5 Exemple
Nous résolvons l’équation différentielle ![](https://1.bp.blogspot.com/-wYhOiqE_VyY/VyU1kwocqCI/AAAAAAAAKMk/LiKoIuaeaVMLm4Cmcd9zjLdttzCbCUptQCLcB/s1600/image028.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-wYhOiqE_VyY/VyU1kwocqCI/AAAAAAAAKMk/LiKoIuaeaVMLm4Cmcd9zjLdttzCbCUptQCLcB/s1600/image028.gif)
La solution générale de l’équation homogène est ![](https://3.bp.blogspot.com/-FPztykP-2wk/VyU1k88aY1I/AAAAAAAAKMo/WcXrgDPqd2Ua4ICWVidL4JUH49HHnJMIgCLcB/s1600/image029.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-FPztykP-2wk/VyU1k88aY1I/AAAAAAAAKMo/WcXrgDPqd2Ua4ICWVidL4JUH49HHnJMIgCLcB/s1600/image029.gif)
La méthode de variation de la constante s’applique, ici :
La solution de l’équation complète est donc ![](https://4.bp.blogspot.com/-o_ghE5rkc4s/VyU1k-0HVOI/AAAAAAAAKMw/reFI1MWpNxY8_5j3iToR-qycFkdB7aFpgCLcB/s1600/image031.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-ILm1hruR1Fc/VyU1k_RdrFI/AAAAAAAAKMs/qRqsFCd9dmURePIUwjdm4QvRfM25Emf2QCLcB/s1600/image030.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-o_ghE5rkc4s/VyU1k-0HVOI/AAAAAAAAKMw/reFI1MWpNxY8_5j3iToR-qycFkdB7aFpgCLcB/s1600/image031.gif)
3.6 Exemple
Nous résolvons l’équation différentielle ![](https://3.bp.blogspot.com/-rr69jDtElLY/VyU1lIuQkPI/AAAAAAAAKM0/YBJO6jHDvVwBhuMFJUJ2pQhYZLuYLV0AwCLcB/s1600/image032.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-rr69jDtElLY/VyU1lIuQkPI/AAAAAAAAKM0/YBJO6jHDvVwBhuMFJUJ2pQhYZLuYLV0AwCLcB/s1600/image032.gif)
L’équation différentielle se réduit à y′(t) − 2ty(t) = 0. Nous avons a(t) = −2t, donc ![](https://3.bp.blogspot.com/-zNrOKRBr7Vs/VyU1lH9XO4I/AAAAAAAAKM4/2UI8zjHjWbs0VfGPsfv0sJ_LXDb6_4WWgCLcB/s1600/image033.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-zNrOKRBr7Vs/VyU1lH9XO4I/AAAAAAAAKM4/2UI8zjHjWbs0VfGPsfv0sJ_LXDb6_4WWgCLcB/s1600/image033.gif)
La solution générale de l’équation homogène est ![](https://2.bp.blogspot.com/-usd34MmS5dk/VyU1lTc_S2I/AAAAAAAAKM8/Ytg7lUSIJNsiB44oRpLdn0QZzErkSor8ACLcB/s1600/image034.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-usd34MmS5dk/VyU1lTc_S2I/AAAAAAAAKM8/Ytg7lUSIJNsiB44oRpLdn0QZzErkSor8ACLcB/s1600/image034.gif)
Il reste à déterminer une solution particulière de l’équation complète.
4- Sans second membre, avec condition initiale
4.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 2.
![](https://2.bp.blogspot.com/-fqjKW3AcHgw/VyU1lbk1yBI/AAAAAAAAKNA/-5aZhDmQfcMNGxrafyGSH_BAlAywUPSHQCLcB/s1600/image035.gif)
Nous avons a(t) = 3, donc
La forme générale des solutions est donc ![](https://1.bp.blogspot.com/-lXUVW6h0_oU/VyU1lh8fXZI/AAAAAAAAKNI/F26Om9r0hUgALu-Hc5vbiJELP1lzKBU_QCLcB/s1600/image037.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-arDZnYTkjQE/VyU1lRuwa0I/AAAAAAAAKNE/hRu2ZNqERF0YROYQcjSXpZmCWAgqkKl8gCLcB/s1600/image036.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-lXUVW6h0_oU/VyU1lh8fXZI/AAAAAAAAKNI/F26Om9r0hUgALu-Hc5vbiJELP1lzKBU_QCLcB/s1600/image037.gif)
La condition initiale y(0) = 2 impose ![](https://1.bp.blogspot.com/-Wlfwd90UcQY/VyU1loeCPbI/AAAAAAAAKNM/kjJ9wqpBOpwZtzZkBg6o3ytCYR96xHblgCLcB/s1600/image038.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-Wlfwd90UcQY/VyU1loeCPbI/AAAAAAAAKNM/kjJ9wqpBOpwZtzZkBg6o3ytCYR96xHblgCLcB/s1600/image038.gif)
4.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(1) = π.
![](https://3.bp.blogspot.com/-PTqg6X5RfDA/VyU1l2z8odI/AAAAAAAAKNQ/OyAxzbdH8f01aqi7r3YJk_NKVLNxSH7CgCLcB/s1600/image039.gif)
L’équation est mise sous la forme plus agréable
donc ![](https://4.bp.blogspot.com/-63cIQNqyKUw/VyU1mAFOL8I/AAAAAAAAKNY/bqJnzGnWuV0-HWnszMsSJJcWYuSo2Ge2ACLcB/s1600/image041.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-dZQN0nf_Dmw/VyU1l-WiXcI/AAAAAAAAKNU/czskOpFyVZUp_w6981pXvZCsHHLVIF13ACLcB/s1600/image040.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-63cIQNqyKUw/VyU1mAFOL8I/AAAAAAAAKNY/bqJnzGnWuV0-HWnszMsSJJcWYuSo2Ge2ACLcB/s1600/image041.jpg)
Les solutions sont donc de la forme ![](https://4.bp.blogspot.com/-7UgoNTr7z00/VyU1mGtz35I/AAAAAAAAKNc/ZPrMH3p2UQUstJoLN1ekyp1I4Beh2io0QCLcB/s1600/image042.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-7UgoNTr7z00/VyU1mGtz35I/AAAAAAAAKNc/ZPrMH3p2UQUstJoLN1ekyp1I4Beh2io0QCLcB/s1600/image042.jpg)
5- Avec second membre et condition initiale
5.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 3.
![](https://4.bp.blogspot.com/-Rgl_fTivbyM/VyU1mAJFo8I/AAAAAAAAKNg/uCFDAwkTbjEBmuH3JY2xs4_Cl-RA15fMgCLcB/s1600/image043.jpg)
Observons l’équation homogène y′(t) + ty(t) = 0 : ici, a(t) = t, donc
Les solutions sont les fonctions ![](https://3.bp.blogspot.com/-RvLV-6BC5Y8/VyU1mTlD_pI/AAAAAAAAKNo/oxENKIoiZ_ISW3wBRn7r1PLp8QIfDnzAQCLcB/s1600/image045.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-v4Zehekykio/VyU1mfPGOZI/AAAAAAAAKNk/labOYEgJxXQ9T8vIVFYiNIQjU-awTZ96ACLcB/s1600/image044.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-RvLV-6BC5Y8/VyU1mTlD_pI/AAAAAAAAKNo/oxENKIoiZ_ISW3wBRn7r1PLp8QIfDnzAQCLcB/s1600/image045.jpg)
Si nous cherchons une solution particulière, nous obtenons facilement la solution ![](https://1.bp.blogspot.com/-Y_LunIib7Bg/VyU1me8bTJI/AAAAAAAAKNs/oP9tPuUrOQwEcG06fsd3gkbv1h3of2IGwCLcB/s1600/image046.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-Y_LunIib7Bg/VyU1me8bTJI/AAAAAAAAKNs/oP9tPuUrOQwEcG06fsd3gkbv1h3of2IGwCLcB/s1600/image046.jpg)
Sinon, la condition initiale y(0) = 3 impose comme solution la fonction ![](https://4.bp.blogspot.com/-s8BUzkUcSaQ/VyU1mpgFcaI/AAAAAAAAKNw/sXHk9AA9naUUMnGWGEvEuuSbP01Sn5kbACLcB/s1600/image047.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-s8BUzkUcSaQ/VyU1mpgFcaI/AAAAAAAAKNw/sXHk9AA9naUUMnGWGEvEuuSbP01Sn5kbACLcB/s1600/image047.jpg)
5.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 1.
![](https://1.bp.blogspot.com/-Nrm9U503WIo/VyU1mrnOmkI/AAAAAAAAKN0/WseG7W_sk0U_D690ugeePWZHWGBbBm7HgCLcB/s1600/image048.jpg)
La solution générale de l’équation homogène est ![](https://4.bp.blogspot.com/-4w58NwVOXP4/VyU1mypHAGI/AAAAAAAAKN4/ghW-ya4__pU5tIkJ1HAjpq0uTLT-v2K6ACLcB/s1600/image049.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-4w58NwVOXP4/VyU1mypHAGI/AAAAAAAAKN4/ghW-ya4__pU5tIkJ1HAjpq0uTLT-v2K6ACLcB/s1600/image049.jpg)
Il reste à déterminer une solution particulière de I ‘équation complète ; elle sera de la forme ![](https://3.bp.blogspot.com/-18DrCBV6H9I/VyU1m8rEsVI/AAAAAAAAKN8/klR7mFSiYhki_tAkn7rMfY5qdc2IwwLMACLcB/s1600/image050.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-18DrCBV6H9I/VyU1m8rEsVI/AAAAAAAAKN8/klR7mFSiYhki_tAkn7rMfY5qdc2IwwLMACLcB/s1600/image050.jpg)
6- Exemples de recollements
6.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle ![](https://1.bp.blogspot.com/-V_fgUfktPes/VyU1nLsyrQI/AAAAAAAAKOA/bssN1HjWjQElpm3Ge4J3axuPfHSkOfMSACLcB/s1600/image051.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-V_fgUfktPes/VyU1nLsyrQI/AAAAAAAAKOA/bssN1HjWjQElpm3Ge4J3axuPfHSkOfMSACLcB/s1600/image051.jpg)
Nous nous ramenons à la résolution des équations
avec t < 0, puis avec t > 0.
![](https://3.bp.blogspot.com/-y52Y_GZJEYo/VyU1nACz3lI/AAAAAAAAKOE/T1Kyg3CHYN4RgvFuxgBYg45Gl-YhWXO3QCLcB/s1600/image052.jpg)
La solution de l’équation homogène nous donne
Nous distinguerons désormais deux cas de figure.
![](https://2.bp.blogspot.com/-NkoG30bWZH0/VyU1neECM7I/AAAAAAAAKOI/0ODf9ehRhMYVcYPSR9RxFF0ESXjT3qpkACLcB/s1600/image053.jpg)
Si ![](https://3.bp.blogspot.com/-eg4MIh5J7oM/VyU1nbtLMyI/AAAAAAAAKOM/113k2_I7moMJUOBap6OHk3BbsTIWUjmaACLcB/s1600/image054.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-eg4MIh5J7oM/VyU1nbtLMyI/AAAAAAAAKOM/113k2_I7moMJUOBap6OHk3BbsTIWUjmaACLcB/s1600/image054.jpg)
De la même façon, nous obtenons ![](https://3.bp.blogspot.com/-f-TDIBooaGk/VyU1nSFpOmI/AAAAAAAAKOQ/iPF3V-QZ_5sC03r7OMwbnZbU5LQzox1cwCLcB/s1600/image055.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-f-TDIBooaGk/VyU1nSFpOmI/AAAAAAAAKOQ/iPF3V-QZ_5sC03r7OMwbnZbU5LQzox1cwCLcB/s1600/image055.jpg)
Nous constatons que
Donc la restriction de y à ]0,+∞[ est prolongeable à droite de 0 ; nous obtenons y(0) = 0 et y′(0) = 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable sur IR+.
![](https://1.bp.blogspot.com/-N8f5GBpuGC0/VyU1noH_YeI/AAAAAAAAKOU/7Z9YCzofLv8t0qo4Bryjb2VXsIdrMQcDwCLcB/s1600/image056.jpg)
Un argument analogue nous montre que la restriction de y à ]−∞, 0[ est prolongeable par continuité à gauche de 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable à gauche de 0.
Finalement, y, ainsi prolongée, est continue et dérivable sur R. Les solutions de l’équation proposée sont de la forme suivante : ![](https://1.bp.blogspot.com/-aik7yLlFmqk/VyU1npf63kI/AAAAAAAAKOg/VYHbJxWlFUwVpgHlYrRdDIQGI3a0qe_zgCLcB/s1600/image057.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-aik7yLlFmqk/VyU1npf63kI/AAAAAAAAKOg/VYHbJxWlFUwVpgHlYrRdDIQGI3a0qe_zgCLcB/s1600/image057.jpg)
Il existe une ≪double≫ infinité de solutions obtenues par recollement.
6.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Observons que l’équation n’est pas définie sur IR; en revanche, elle est définie sur ![](https://3.bp.blogspot.com/-APRAeMVjLCY/VyU1n13KE6I/AAAAAAAAKOc/4dvaV6fvNRMViuCcfCPEthc3zzaTCI4jQCLcB/s1600/image059.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-PJ-6l90O3wk/VyU1nqIk75I/AAAAAAAAKOY/cdQ4_QXaCB8wmExDB4ax7WX07B9qg3J9QCLcB/s1600/image058.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-APRAeMVjLCY/VyU1n13KE6I/AAAAAAAAKOc/4dvaV6fvNRMViuCcfCPEthc3zzaTCI4jQCLcB/s1600/image059.jpg)
Si t < 0, la solution générale est y(t) = λt ; de même, si t > 0, la solution générale est y(t) = μt.
Une solution particulière est obtenue facilement : c’est la solution ![](https://4.bp.blogspot.com/-Xt3U32w1eGI/VyU1oCQKH2I/AAAAAAAAKOk/JYgfcU1ijVIS-Q69_Rt8w8KULvp237WggCLcB/s1600/image060.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-Xt3U32w1eGI/VyU1oCQKH2I/AAAAAAAAKOk/JYgfcU1ijVIS-Q69_Rt8w8KULvp237WggCLcB/s1600/image060.gif)
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est définie comme suit : si t < 0, alors y(t) = λt+t² ; si t > 0, alors y(t) = μt + t².
Voyons si les deux ≪morceaux≫ peuvent
être raccord´es. Les solutions que nous venons de définir sont
continues, respectivement à gauche et à droite de 0 ; donc nous pouvons
prolonger y par continuité, en posant y(0) = 0.
Il reste à obtenir la dérivabilité à gauche et à droite de 0 : or celle-ci est obtenue en imposant λ = μ. Concluons : il existe des solutions sur IR, de la forme y(t) = λ t + t².
6.3 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Observons que l’équation est définie sur ]0,+∞[. La condition t > 0 nous est imposée. L’équation homogène s’écrit
sa solution générale est
Pour obtenir une solution particulière, il est raisonnable, au vu de l’équation, de prendre
Alors ![](https://3.bp.blogspot.com/-L1DPsX_Bl-k/VyU1ofkOeRI/AAAAAAAAKO4/WmP6L_mzZd09gdgH_ON15suh2PELBCXswCLcB/s1600/image065.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-V8q5LBVZ5TU/VyU1oDj5tkI/AAAAAAAAKOo/ZVT4k3gbrkI44Pq5yi9KILGhOcE9POJ7QCLcB/s1600/image061.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-_v0zjDBmkJU/VyU1oHnDT2I/AAAAAAAAKOs/i88sINxQf6kdDtPaz4YY4EI4vZlmwV2wwCLcB/s1600/image062.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-jwy31cyV08M/VyU1oe0vSBI/AAAAAAAAKOw/OK7d9fTRpc04VM_BwgtvrP3W_sIPfc7uwCLcB/s1600/image063.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-de8PmJ36PQI/VyU1oY0lWKI/AAAAAAAAKO0/V8i_uOTC5GY3pw9xgNxzrXwX1jzYmb44wCLcB/s1600/image064.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-L1DPsX_Bl-k/VyU1ofkOeRI/AAAAAAAAKO4/WmP6L_mzZd09gdgH_ON15suh2PELBCXswCLcB/s1600/image065.jpg)
La solution générale est ![](https://1.bp.blogspot.com/-VTRjO_O7YTY/VyU1ouLZpDI/AAAAAAAAKO8/qFSfTIHMTMsmIBajrOnTcOOqzQdlHo_-ACLcB/s1600/image066.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-VTRjO_O7YTY/VyU1ouLZpDI/AAAAAAAAKO8/qFSfTIHMTMsmIBajrOnTcOOqzQdlHo_-ACLcB/s1600/image066.jpg)
Observons que la solution proposée tend vers 0+ avec t, donc y est prolongeable par continuité à droite de 0, en posant y(0) = 0. Mais
tend vers −∞ lorsque t tend vers 0+. Donc il n’existe pas de solution sur IR+.
![](https://1.bp.blogspot.com/-GMkHZu8Pz9E/VyU1ojOIiqI/AAAAAAAAKPA/Q5Rt756rI80YxeqgTdbKZW7GZsiOOb8kQCLcB/s1600/image067.jpg)
6.4 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Nous constatons que cette équation ne peut être résolue que sur chaque intervalle ![](https://1.bp.blogspot.com/-cLoOFEATXwI/VyU1o9QW9FI/AAAAAAAAKPI/dTzGqcESk-Q6ZlM4JEFNhNrIjvsjvuGugCLcB/s1600/image069.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-jRJviFeqNG8/VyU1o0j1wiI/AAAAAAAAKPE/T7483wBBklAITqyqbzuOzCdvr68zs2i-QCLcB/s1600/image068.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-cLoOFEATXwI/VyU1o9QW9FI/AAAAAAAAKPI/dTzGqcESk-Q6ZlM4JEFNhNrIjvsjvuGugCLcB/s1600/image069.jpg)
Limitons-nous au cas où l’intervalle est
donc ![](https://2.bp.blogspot.com/-3Mo12hD79dk/VyU1pAxGfLI/AAAAAAAAKPQ/EbTq6PRwAGc0ggP-A5WECHBgzL2JPR6sgCLcB/s1600/image071.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-blvMGc_0i7s/VyU1o8TJF8I/AAAAAAAAKPM/gne__-8_CVI2qKMyMwKLpaJ34Q4NycG8QCLcB/s1600/image070.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-3Mo12hD79dk/VyU1pAxGfLI/AAAAAAAAKPQ/EbTq6PRwAGc0ggP-A5WECHBgzL2JPR6sgCLcB/s1600/image071.jpg)
La solution générale de l’équation homogène est donc
![](https://2.bp.blogspot.com/-seOb9wxLJk0/VyU1pEjfLJI/AAAAAAAAKPU/y_SJ8WObOyY4MFflHq3npquKW-O33eEpwCLcB/s1600/image072.jpg)
Observons que la fonction
Il reste à trouver une solution particulière de l’équation complète. Si nous avons l’œil, la fonction t → −1 convient ! Sinon, nous savons qu’une solution sera de la forme
le reste est une question d’identification.
![](https://1.bp.blogspot.com/-w9HSPFnMUJ4/VyU1pGnbbVI/AAAAAAAAKPY/o_2w5c5ihKoW3NFzuJPc5n-JYCcF5N2mgCLcB/s1600/image073.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-rTUKdJnO1z0/VyU1pXE_rHI/AAAAAAAAKPc/_5xgibAOfu00CIrLwODR_PI8SvEplx1agCLcB/s1600/image074.jpg)
6.5 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Nous nous ramenons à l’équation
Les solutions sont : ![](https://2.bp.blogspot.com/-8gx1PETVvdA/VyU1prirxPI/AAAAAAAAKPo/1IUBIdqnAnsoJVrqHboQV6qnwjchLQJKACLcB/s1600/image077.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-0X8DTuOPMCg/VyU1pRCU5JI/AAAAAAAAKPg/1C8z2ZtsN34dBjhk5YZsgD4CJaqCZf-iwCLcB/s1600/image075.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-0_UkKeA6jxQ/VyU1psDsJRI/AAAAAAAAKPk/XiYKOfFYlVU-V0VR-P2uf6vKrpdm-cEwQCLcB/s1600/image076.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-8gx1PETVvdA/VyU1prirxPI/AAAAAAAAKPo/1IUBIdqnAnsoJVrqHboQV6qnwjchLQJKACLcB/s1600/image077.jpg)
Une solution particulière évidente est la fonction y(t) = 1.
La solution générale est donc :
La continuité de y à gauche et à droite de 0 est claire, donc nous pouvons prolonger y en imposant y(0) = 0.
![](https://1.bp.blogspot.com/-XxHpckSQqAU/VyU1p87wIWI/AAAAAAAAKPs/e7Nw4ca-SXMz8wBB6ncKgtmafLPYvrGRACLcB/s1600/image078.jpg)
Montrons enfin que la dérivée peut à son tour être prolongée :
et ![](https://1.bp.blogspot.com/-_XeC9wt-7_E/VyU1pyA2LHI/AAAAAAAAKPw/b9WbSWaY3v8r7pJsogtb0b4oS8sQ-b6wgCLcB/s1600/image080.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-j3h5s0dvK2I/VyU1p0cFnAI/AAAAAAAAKP0/goB6Ojg8mu03N7E2ooccAlz7SzXRhud7QCLcB/s1600/image079.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-_XeC9wt-7_E/VyU1pyA2LHI/AAAAAAAAKPw/b9WbSWaY3v8r7pJsogtb0b4oS8sQ-b6wgCLcB/s1600/image080.jpg)
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