Exemples de résolutions d’équations différentielles
Exemples de résolutions d’équations différentielles
1- Définition
Soient I un intervalle de R non réduit à un point. Les fonctions a (et, au besoin, b) sont continues sur I, à valeurs réelles. Alors y′(t) + a(t)y(t) = 0 une équation différentielle linéaire, homogène, du premier ordre ; et y′(t)+a(t)y(t) = b(t) est une équation complète. Notons A une primitive sur I de a ; les solutions de l’équation proposée sont les fonctions
.

2- Sans second membre
2.1 Exemple
Résolvons l’´equation différentielle
: ici, a(t) = 2, donc
.


La solution générale de cette équation est donc
.

3.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
.

Nous avons a(t) = 2, donc 

Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions
.

Il nous reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci est de la forme
Il vient :


Ceci nous ramène au système échelonné, formé des trois équations 2a = 1, 2(a + b) = −2 et b + 2c = 3.
La résolution nous donne a = 1/2, b = −3/2 et c = 9/4. La forme générale d’une solution est donc 

3.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 2.

Nous avons a(t) = 2t, donc
La solution générale de l’équation homogène y′ + 2ty = 0 est donc la fonction 


Nous trouvons facilement une solution particulière de l’équation complète : il suffit de prendre

La solution de l’équation complète est donc 

3.3 Exemple
Résolvons l’équation différentielle 

Ici, nous avons a(t) = 1, donc 

La solution générale de l’équation homogène est visiblement la fonction 

Il
nous faut maintenant déterminer une solution particulière de
l’équation complète ; la méthode de variation de la constante nous
donne 

La solution complète est donc 

3.4 Exemple
Résolvons l’équation différentielle 

Ici, nous avons a(t) = −2, donc
Les solutions de l’équation homogène sont visiblement de la forme 


Il reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci sera de la forme
avec P polynomiale, de degré 2. Notons
alors :



Ceci nous mène à a = 1 et b = 1.
Finalement, la solution générale de cette équation est 

3.5 Exemple
Nous résolvons l’équation différentielle 

La solution générale de l’équation homogène est 

La méthode de variation de la constante s’applique, ici :
La solution de l’équation complète est donc 


3.6 Exemple
Nous résolvons l’équation différentielle 

L’équation différentielle se réduit à y′(t) − 2ty(t) = 0. Nous avons a(t) = −2t, donc 

La solution générale de l’équation homogène est 

Il reste à déterminer une solution particulière de l’équation complète.
4- Sans second membre, avec condition initiale
4.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 2.

Nous avons a(t) = 3, donc
La forme générale des solutions est donc 


La condition initiale y(0) = 2 impose 

4.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(1) = π.

L’équation est mise sous la forme plus agréable
donc 


Les solutions sont donc de la forme 

5- Avec second membre et condition initiale
5.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 3.

Observons l’équation homogène y′(t) + ty(t) = 0 : ici, a(t) = t, donc
Les solutions sont les fonctions 


Si nous cherchons une solution particulière, nous obtenons facilement la solution 

Sinon, la condition initiale y(0) = 3 impose comme solution la fonction 

5.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
avec la condition initiale y(0) = 1.

La solution générale de l’équation homogène est 

Il reste à déterminer une solution particulière de I ‘équation complète ; elle sera de la forme 

6- Exemples de recollements
6.1 Exemple
Résolvons l’équation différentielle 

Nous nous ramenons à la résolution des équations
avec t < 0, puis avec t > 0.

La solution de l’équation homogène nous donne
Nous distinguerons désormais deux cas de figure.

Si 

De la même façon, nous obtenons 

Nous constatons que
Donc la restriction de y à ]0,+∞[ est prolongeable à droite de 0 ; nous obtenons y(0) = 0 et y′(0) = 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable sur IR+.

Un argument analogue nous montre que la restriction de y à ]−∞, 0[ est prolongeable par continuité à gauche de 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable à gauche de 0.
Finalement, y, ainsi prolongée, est continue et dérivable sur R. Les solutions de l’équation proposée sont de la forme suivante : 

Il existe une ≪double≫ infinité de solutions obtenues par recollement.
6.2 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Observons que l’équation n’est pas définie sur IR; en revanche, elle est définie sur 


Si t < 0, la solution générale est y(t) = λt ; de même, si t > 0, la solution générale est y(t) = μt.
Une solution particulière est obtenue facilement : c’est la solution 

Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est définie comme suit : si t < 0, alors y(t) = λt+t² ; si t > 0, alors y(t) = μt + t².
Voyons si les deux ≪morceaux≫ peuvent
être raccord´es. Les solutions que nous venons de définir sont
continues, respectivement à gauche et à droite de 0 ; donc nous pouvons
prolonger y par continuité, en posant y(0) = 0.
Il reste à obtenir la dérivabilité à gauche et à droite de 0 : or celle-ci est obtenue en imposant λ = μ. Concluons : il existe des solutions sur IR, de la forme y(t) = λ t + t².
6.3 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Observons que l’équation est définie sur ]0,+∞[. La condition t > 0 nous est imposée. L’équation homogène s’écrit
sa solution générale est
Pour obtenir une solution particulière, il est raisonnable, au vu de l’équation, de prendre
Alors 





La solution générale est 

Observons que la solution proposée tend vers 0+ avec t, donc y est prolongeable par continuité à droite de 0, en posant y(0) = 0. Mais
tend vers −∞ lorsque t tend vers 0+. Donc il n’existe pas de solution sur IR+.

6.4 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Nous constatons que cette équation ne peut être résolue que sur chaque intervalle 


Limitons-nous au cas où l’intervalle est
donc 


La solution générale de l’équation homogène est donc

Observons que la fonction
Il reste à trouver une solution particulière de l’équation complète. Si nous avons l’œil, la fonction t → −1 convient ! Sinon, nous savons qu’une solution sera de la forme
le reste est une question d’identification.


6.5 Exemple
Résolvons l’équation différentielle
Nous nous ramenons à l’équation
Les solutions sont : 



Une solution particulière évidente est la fonction y(t) = 1.
La solution générale est donc :
La continuité de y à gauche et à droite de 0 est claire, donc nous pouvons prolonger y en imposant y(0) = 0.

Montrons enfin que la dérivée peut à son tour être prolongée :
et 


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