Disque uniformément chargé avec la densité superficielle uniforme - La solution d'exercice - Exercices corrigés d'életrostatique

a) Calcul du champ électrostatique à partir du potentiel

Le potentiel dV(M) crée en un point M(0,0,z) par la charge dq= σdS entourant le point P (figure 13) est :

La charge dq= σdS  crée en M le potentiel V(M)  s’écrit :

 Ce qui donne :

Le potentiel V(M) est obtenu par intégration sur la surface du disque :

Le champ est déduit du potentiel par dérivation :

 b)  Calcul direct du champ en un point M(0,0,z)

Examinons d’abord la symétrie du problème : la distribution présente une symétrie de révolution autour de . Tout plan contenant l’axe est un plan de symétrie paire de la distribution. Donc le champ en un point M de l’axe est porté par :

 Un élément de charge  dq= σdS , centré en P (figure 13), crée en un point M de l’axe du disque un champ élémentaire donné par : 

 Le disque chargé présente une symétrie de révolution autour de son axe, par exemple l’axe z’z, le champ est alors porté par cet axe. On a : 

avec, ρ variable radiale cylindrique 

Loin du disque (z grand), le champ s’affaiblit (figure 14). 

Cas limites 
•  Si le point M est très éloigné du disque, c’est à dire :   |z| >> R, on aura alors : 

 C’est l’expression du champ créé en M par une charge Q =σΠR²  placée en O.
•  Si le point M est très proche du disque, c’est à dire   |z| << R, on aura : 

C’est l’expression du champ créé en M par un plan (infini) uniformément chargé 

Conséquence 

A la traversée du disque, le champ normal au disque subit une discontinuité égale à : 

Ce résultat est valable pour n’importe quelle distribution de charges en surface, uniforme ou non : si  σ est la densité locale d’une distribution  surfacique quelconque de charges, il y a en ce point un changement brutal (discontinuité égale à σ/ε₀) de la composante du champ électrostatique perpendiculaire à la surface. 

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