Disque uniformément chargé avec la densité superficielle uniforme - La solution d'exercice - Exercices corrigés d'életrostatique
a) Calcul du champ électrostatique à partir du potentiel
Le potentiel dV(M) crée en un point M(0,0,z) par la charge dq= σdS entourant le point P (figure 13) est :La charge dq= σdS crée en M le potentiel V(M) s’écrit :
Ce qui donne :
Le potentiel V(M) est obtenu par intégration sur la surface du disque :
b) Calcul direct du champ en un point M(0,0,z)
Examinons d’abord la symétrie du problème : la distribution présente une symétrie de révolution autour de . Tout plan contenant l’axe est un plan de symétrie paire de la distribution. Donc le champ en un point M de l’axe est porté par :Un élément de charge dq= σdS , centré en P (figure 13), crée en un point M de l’axe du disque un champ élémentaire donné par :
Le disque chargé présente une symétrie de révolution autour de son axe, par exemple l’axe z’z, le champ est alors porté par cet axe. On a :
avec, ρ variable radiale cylindrique
Loin du disque (z grand), le champ s’affaiblit (figure 14).
Cas limites
• Si le point M est très éloigné du disque, c’est à dire : |z| >> R, on aura alors :
C’est l’expression du champ créé en M par une charge Q =σΠR² placée en O.
• Si le point M est très proche du disque, c’est à dire |z| << R, on aura :
C’est l’expression du champ créé en M par un plan (infini) uniformément chargé
Conséquence
A la traversée du disque, le champ normal au disque subit une discontinuité égale à :
Ce résultat est valable pour n’importe quelle distribution de charges en surface, uniforme ou non : si σ est la densité locale d’une distribution surfacique quelconque de charges, il y a en ce point un changement brutal (discontinuité égale à σ/ε0) de la composante du champ électrostatique perpendiculaire à la surface.
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