Cylindre chargé uniformément en surface - La solution d'exercice - Exercices corrigés d'életrostatique
a) Variable dont dépend
et sa direction
* Le cylindre chargé a un axe de révolution Oz (figure 5). Le système de coordonnées le plus adapté est le système cylindrique de base
* Le plan
* Le plan
D’où, le champ est radial :
Le système possède une symétrie de révolution par rapport à l’axe z z' et de translation parallèlement à cet axe : le champ E en un point M situé à la distance r de l’axe est donc de la forme :
b) Calcul du champ électrostatique
La surface fermée Σ que nous choisissons pour calculer le flux de
Le flux de
Le flux de
avec, Σ1 : surface latérale de Σ
Puisque E(r) et r sont des constantes, on a :
Le théorème de Gauss s’écrit :
* Si M est extérieur au cylindre chargé (C) : r > R
La charge à l’intérieur du cylindre Σ de rayon r > R :
Puisque σ est uniforme, on a :
Le théorème de Gauss s’écrit donc :
En simplifiant par (2 Π h), la norme du champ électrostatique E(r) :
Par raison de symétrie, on sait que
* Si M est intérieur au cylindre chargé (C) : r < R
Dans ce cas, la charge à l’intérieur du cylindre Σ de rayon r < R étant nulle,
Qint =0
Il s’ensuit, d’après le théorème de Gauss, que la norme du champ est nulle :
E(r)=0
Ce qui conduit à :
Le champ
c) Calcul du potentiel électrostatique V(M)
* Si M est à l’extérieur du cylindre : r ≥ RDans le cas d’une distribution surfacique portée par le cylindre infiniment long, on prendra l’origine des potentiels, à une distance finie r0 de l’axe du cylindre (par exemple r0 > R ; V(r0) = 0)
* Si M est à l’intérieur du cylindre : r ≤ R
V ( r≤)= cste
La constante est déterminée par continuité du potentiel en r=R :
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