La soution d'Exercice sur Champ au voisinage de l’axe d’un cerceau uniformément chargé (Théorème de Gauss)
1.
Champ électrostatique en un point de l’axe de
l’anneau.
Les
plans contenant l’axe Oz sont des plans de
symétrie de la distribution des charges ; en un
point M de cet axe, la direction du champ
électrostatique doit appartenir à chacun de ces
plans donc à leur intersection :
avec
Or:
Comme
le plan contenant le cerceau est lui aussi un plan
de symétrie de la distribution des charges on a, en
un point M’ symétrique de M par
rapport au cerceau :
Au
final, on obtient pour un point quelconque de l’axe
du cerceau :
2. Champ en un point proche
de l’axe.
On travaille en coordonnées
cylindriques.
Pour un point M
quelconque de l’espace, le plan contenant ce point
M et l’axe Oz est un plan de symétrie
de la distribution des charges. Le champ est donc
contenu dans ce plan. D’autre part comme il y a
invariance de la distribution des charges par
rotation autour de l’axe Oz on peut alors
écrire le champ électrostatique sous la forme :
Pour déterminer le champ, on
utilise le théorème de Gauss et on choisit comme
surface fermée un cylindre de génératrice l’axe
Oz, de longueur dz et de rayon r.
A l’intérieur de la surface de Gauss il n’y a pas de
charges d’où :
Comme le point M considéré est très proche de
l’axe on fait l’approximation suivante :
D’autre part comme la
longueur dz du cylindre est élémentaire, on
peut considérer que :
On développe l’intégrale double :
Après simplifications et en remarquant la présence
de la différentielle de la fonction
Pour un point M de l’axe on peut maintenant
écrire le champ électrostatique sous la forme :
