Exercice corrigé sur Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme (Mouvements d'une particule chargée dans un champ électromagnétique)
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Charge de l’électron
(module) e =1,6.10-19 C ;
Masse d’un proton :
mp = 1,67.10-27
kg ;
Masse d’un électron : me
= 9,1.10-31 kg ;
1 eV =1,6.10-19 
On se place dans le cadre
de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que la
force magnétique.
Une particule, de masse
m et de charge q, est soumise à l’action d’un champ magnétique
uniforme et permanent (indépendant du temps) dans le
référentiel R(Oxyz) supposé galiléen. On appelle
respectivement
les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy
et Oz. Le champ magnétique est colinéaire à Oz :
La vitesse
de la particule a pour composantes
: 
; on pose:
et
de la particule a pour composantes
: 
; on pose:
et
désignent ainsi les composantes de la vitesse respectivement perpendiculaire et parallèle au champ . La norme du vecteur
est notée
. À l’instant initial, la particule se trouve en O
avec la vitesse :
1. Montrer que l’énergie cinétique
Ec de la particule est une constante du mouvement.
2. Montrer que
est une constante du mouvement. En déduire que est également constant au cours du mouvement. On pose
On étudie la projection du mouvement de la particule dans le plan
perpendiculaire à 3. Déterminer les composantes
de la vitesse de la particule en fonction de
et du temps t.
4. En déduire les coordonnées x
et y de la particule à l’instant t.
5. Montrer que la projection de la
trajectoire de la particule dans le plan est un cercle
Γ de centre C (centre
guide) et de rayon a (rayon de giration). Déterminer les
coordonnées xC et yC
de C, le rayon a et la période de révolution T1
de la particule sur ce cercle en fonction de
6. Tracer, avec soin, le cercle Γ dans le plan
dans le cas d’un proton, puis dans le cas d’un
électron. Préciser en particulier les sens de parcours de chaque
particule sur
Γ.
7. L’orbite circulaire
Γ peut
être assimilée à une petite spire de courant. Déterminer l’intensité
i de ce courant associé au mouvement de la particule sur
Γ.
8. Quelle est la trajectoire de la
particule chargée? Expliquer pourquoi elle s’enroule sur un tube de
champ du champ B.
9. On peut décomposer le mouvement
de la particule en un mouvement sur un cercle dont le centre C se
déplace à la vitesse le long de Oz. Quelle distance b
parcourt le centre C sur Oz durant la période T1.
Exprimer b en fonction de vL
et ω.
Comparer b et a dans le cas où
Voir la soution