Exercice corrigé sur Etude de distributions linéiques (Dipôle électrostatique)
On
considère un segment AB, de milieu O porté par l'axe Oz, de longueur 2l
portant une charge uniformément répartie avec la densité linéique λ.
1.
Déterminer
le champ électrostatique en un point M
du plan médiateur du fil. On donnera le résultant en fonction de l et de r = OM.
2.
En
déduire la limite du champ lorsque l
tend vers l'infini.
3.
Retrouver
le résultat de la question 2) en appliquant le théorème de Gauss.
4.
Dans
le cas du fil infini, déterminer à partir du résultat de la question 3)
l'expression du potentiel électrostatique en un point M quelconque.
On considère deux fils rectilignes
infinis, parallèles à l'axe Oz et d'équations cartésiennes respectives : x =
+ a et x = - a, de charges
linéiques uniformes +λ et -λ (λ > 0). On note A1 et A2 leurs intersections respectives avec le plan xOy.
Le point M sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ, z) et
on notera r1 et r2 les distances respectives entre M et le premier fil d'une part, et M et le second fil d'autre part.
L'origine des potentiels est choisie en O.
5.
Déterminer
l'expression du potentiel en M.
On fait
tendre a vers zéro, tout en
maintenant le produit 2aλ constant. On obtient une ligne dipolaire,
caractérisée par la constante
K = λa/πεo.
On
considère que la distance r du point M à l'axe Oz est très grande devant a
6.
Déterminer
le potentiel crée par la ligne en M.
On se contentera d'un développement limité de l'ordre en a/r non nul le plus petit possible.
7.
En
déduire les composantes du champ dans la base cylindrique.