La décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples - Algèbre


L'outil fondamental, qui est purement algébrique, est la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples, qui permet d'écrire toute fraction rationnelle comme somme de fractions rationnelles simples de la forme :
- d'un polynôme,
- d'éléments simples de première espèce :
-d'éléments simples de deuxième espèce :
On va expliquer longuement comment on aboutit à une telle décomposition.
Soit F une fraction rationnelle :
N ( numérateur ) et D ( dénominateur ) deux polynômes premiers entre eux i.e N et D n'ont pas de racine commun : il n'existe pas de a 2 R tel que N(a) = 0 et D(a) = 0. C'est toujours possible d'écrire toute fraction rationnelle de cette forme ( penser aux nombres rationnelles ). Les racines de D sont appelles les pôles de F.
On dit qu'un pôle a de F est d'ordre n si et seulement si :
Pour décomposer en éléments simples, on va procéder en 3 étapes :

Première étape : division euclidienne.

 

 Si degN > degD, on exécute la division euclidienne de N par D pour dégager la partie entière E de F qui est un polynôme :
ce qui implique
Exemple :

Deuxième étape : Factorisation.
 

On factorise D en polynômes irréductibles sur R[x] . Sur R[x], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 ( i.e de la forme ) ou de degré 2 sans racines réelles ( i.e de la forme ) :
où les sont toutes les racines réelles de D, ni est la multiplicité de xi ( comme bien de fois (x - xi) apparait dans la factorisation) et  est une constante réelle.

Exemples :

- possède trois racines réelles simples i.e de multiplicité 1.
-  à une racine simple -1 et une racine d'ordre trois -1.
- ne possède aucune racine réelle.

Troisième étape : Décomposition en éléments simples.


A un pôle xi d'ordre ni de F, il lui correspond une décomposition de la forme :
A un polynôme irréductible de degré 2 :  il lui correspond une décomposition de la forme :
Illustrons ce procédé en des exemples :
Étape 1 :
Étape 2 : on factorise D. puisque tout polynôme de degré impair admet une racine réelle alors
a = 1 est une racine de D et par suite
D'où
Ici a; b et c sont faciles à déterminer car toutes les pôles sont simples. On multiplie (*) par (x - 1) et on fait x = 1. On trouve a = -1/4. De même on multiplie (*) par (x - 2) et on fait x = 2, on trouve b == 1/5. Aussi on multiplie (*) par (x + 1) et on fait x = -3, on trouve c = 1/2. Par suite
et la primitive de F1 est
Etape 1 :
Etape 2 : On décompose en éléments simples
1 est un pôle d'ordre 3 de F2 :
et par suite
On détermine d en multipliant par (x + 1) et on fait x = -1 : d 1/8.
Pour déterminer a; b et c on multiplie (*) par  et on fait un développement limitée au voisinage de 1 du membre de gauche
On pose h = x - 1, on obtient  
On effectue la division euclidienne suivant les puissances croissantes de
Puisque le développement limitée est unique, on identité avec (**), on tire
par suite
et sa primitive est
Les exemples F1 et F2 ne comportent que des éléments simples de première espèce. Un exemple de fraction rationnelle qui comporte des éléments simples de deuxième espèce est le suivant :
le degré du numérateur 2 est strictement inferieur au degré du dénominateur 4. Le polynôme  se factorise
et les facteurs sont irréductibles sur IR :
Donc F3 se décompose comme suit
On multiplie (*) par x et on fait tendre x vers +1, on obtient
On fait x = 0 dans (*), on obtient
On fait x = 1 dans (*), on obtient
On fait x = -1 dans (*), on obtient
On regroupe (1); (2); (3) et (4), on obtient un système en a et b qui donne
par suite
et la primitive de F3 se calcule comme suit
On a
Mais
Aussi
Par suite
On fait le changement de variables  qui donne  :
Donc
de même pour
Et
Finalement
On constate en présence d'un élément simple de deuxième espèce, on se ramène a calculer une primitive de
qui s'intègre comme suit : si a 6 0 :
on a
Et
Il reste à calculer
On factorise
on pose  et le calcul de la primitive se ramène à
. Avec un autre changement de variables on se ramène à 
si n = 1 :  se calcule par récurrence sur n en utilisant une intégration par parties
Par suite
Conclusion : pour intégrer une fraction rationnelle , on se ramène à intégrer
Et
le (1) est facile et le (2) se ramène à des log et le calcul des In ci dessus.
Les constantes qui apparaissent dans la décomposition se calculent facilement si le pôles est simple et s'il est d'ordre n , on multiplie par  la fraction rationnelle et calcule le développement limitée au voisinage de a à l'ordre n; Pour les constante qui apparaissent dans les éléments du deuxième espèce, on donne des valeurs à x ou tendre x vers l'infini.

Exemple :
On détermine la primitive
-1 est un pôle d'ordre 3, -2 est un pôle d'ordre 2 et x²+2x+3 et irréductible dans R[x] car 2²-4 × 3 = -10 < 0 et figure avec une multiplicité 2. On a donc la décomposition

quand . On pose h = x + 1 et on détermine le développement limitée au voisinage de 0 à l'ordre 3 de la fonction

On fait la division euclidienne suivant les puissances croissantes de -1 + 2h par  pour obtenir le développement limitée à l'ordre 3 :
Par suite
Pour déterminer e et f, on multiplie (*) par (x+2)² et on calcul le développement limité à l'ordre 1 au point x = -2 :
On pose x + 2 = h : on a
c’est-à-dire
On effectuant la division euclidienne suivant les puissances croissantes de  jusqu'à l'ordre 1, on obtient
Il reste à déterminer les constantes  associées aux éléments simples du deuxième espèce :
- On multiplie (*) par x et on fait tendre x vers +, on obtient :
Il reste donc  à déterminer. Pour cela, on va donner à x trois valeur différentes dan (*). On tombe sur un système de trois d'équations dont  sont le inconnues : prendre x = 0; x = 1; x = 2. Je vous laisse le soin de résoudre ce système par la méthode d'élimination.
Une fois ce système est résolue, la primitive de
se calcule facilement.


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