Sphère chargée uniformément en surface - La solution d'exercice - Exercices corrigés d'életrostatique

a) Variable dont dépendet sa direction

* La sphère chargée est invariante par double rotation l’une d’angle θ autour de  et l’autre d’angle ϕ autour de  : on dit que la sphère a le point O comme centre de symétrie (figure 8). Le système de coordonnées le plus adapté est le système sphériques de base .

* Le plan méridien est un psp (plan de symétrie pair. ainsi :

 * Le plan passant par M etperpendiculaire à (Oz) est un psp (plan desymétrie pair. 

D’où, le champ est radial :

Le champ créé par cette distribution à symétrie sphérique, en un point M est porté par le vecteur et ne dépend que de la variable d’espace  r= ||OM||  .

b) Calcul du champ électrostatique

La surface fermée Σ que nous choisissons pour calculer le flux de est une sphère de centre O, de rayon r : surface de même type que la surface chargée (figure 9). Le flux de  à travers Σ est donné par :

La charge à l’intérieur de la surface de Gauss Σ dépend de la position de M. Deux cas peuvent être distingués : M est extérieur à la sphère chargé (S) ou M est intérieur à (S).

* M est extérieur à (S) : r > R
La charge à l’intérieur de la sphère Σ de rayon r  > R est :

Puisque σ est uniforme, on a :

Le théorème de Gauss s’écrit donc :

En simplifiant par (4 Π), la norme du champ s’écrit :

Par raison de symétrie, le champ est porté par . On obtient finalement :

Le champ est  identique au champ créé en M par une charge ponctuelle égale à la charge totale de la sphère, Q concentrée en O. 
* M est intérieur à (S) : r < R
Dans ce cas, la charge à l’intérieur de la sphère de  rayon r < R est nulle :  

Le champ électrostatique E(r) subit à la traversée de la surface chargée une discontinuité égale à σ/ε₀  (figure 10). 

c) Calcul du potentiel électrostatique V(M) 

* M est extérieur à (S) : r ≥ R
Le potentiel en M est : 

En choisissant l’origine des potentiels à l’infini V=(r=∞)=0, on obtient : 

Le potentiel est identique au potentiel créé en M par une charge ponctuelle égale à la charge totale de la sphère, Q. 
* M est intérieur à (S) : r ≤ R
Le champ en tout point intérieur à S est nul ; le potentiel est donc constant : 

Pour déterminer la constante nous pouvons utiliser la continuité du potentiel pour r = R :

Nous pouvons retrouver cette constante en écrivant :  

avec, V(r=0) est le potentiel  au centre O de la sphère S obtenu à partir d’un calcul direct suivant la relation :

  Alors que le champ est discontinu à la traversée de la charge (figure 10), le potentiel électrostatique est continu (figure 11). 

∎ Retour Aux Exercices