Résistance des matériaux - Cours Mécanique

Chapitre I :Introduction sur la résistance des matériaux

1.1 Qu’est ce que la résistance des matériaux ?

La résistance des matériaux (RDM), appelée aussi mécanique des corps déformables, étudie le comportement statique des corps dit solides (par opposition aux fluides). Elle constitue une branche de la mécanique de l’ingénierie qui étudie les relations entre l’état de repos ou de mouvement d’un corps lorsque ce dernier est soumis à des sollicitations extérieures.

Les différentes divisions de la mécanique de l’ingénieur sont présentées dans le tableau 1.1

Mécanique de l’ingénieur





Corps rigides
Corps déformables
Fluides (liquides, gaz)
·          Statique (Équilibre)
·          Résistance des matériaux et théorie des structures
·             Parfaits
·          Dynamique
 -Cinétique : relation forces-mouvement
- Cinématique : géométrie des mouvements
·          Élasticité
·             Visqueux
·          Plasticité
·             Compressibles







Tableau 1.1
Qu'est ce que la RDM ? On peut répondre à cette question en considérant la figure 1.1. Tout d'abord, un corps déformable est un corps solide qui change de dimension ou de forme sous l'effet de charges ou de température qui lui sont appliquées. Sur le plongeoir montré en figure 1.1, on peut visiblement voir le changement de forme dû au poids du plongeur. Ce changement de dimensions et/ou de forme est appelé une déformation.


 
Figure 1.1 Déformation du plongeoir sous l'effet du poids du plongeur

La déformation peut être très petite, invisible à l'œil nu, mais elle peut être en même temps très importante. Pour relier cette déformation à la charge appliquée, il est nécessaire d'étudier comment les matériaux se comportent sous l'action des charges appliquées.

Cette science permet de déterminer:


1. la valeur du poids pouvant endommager le plongeoir et/ou la rupture peut se produire;
2. la relation qui existe entre le déplacement dc et le poids P du plongeur;
3. l'épaisseur du plongeoir qu'on doit avoir pour résister au poids P;
4. le matériau qu'on doit utiliser.

Toutes ces questions exigent que le plongeoir doive être considéré comme un corps déformable.

1.2 But de la résistance des matériaux

Le but de la RDM est de déterminer par calcul ou par expérience, la distribution des forces internes (contraintes) et des déformations des corps soumis à des forces externes.

Les problèmes de RDM peuvent être des problèmes de conception ou d'analyse où:

1. On peut connaître les forces extérieures appliquées et rechercher quelles sont les dimensions à donner au corps pour que les efforts internes ou les déformations ne dépassent pas une certaine limite fixée d'avance: c'est un problème de conception ou de dimensionnement;

2. Connaissant les forces extérieures et les dimensions du corps, on peut se demander quels seront les efforts intérieurs ou les déformations résultant de l'application de ces forces et vérifier que ces efforts (ou ces déformations) sont bien inférieurs à une limite fixée d'avance. C'est un problème d'analyse ou de vérification.

La RDM constitue l'outil indispensable à l'ingénieur constructeur pour concevoir et réaliser des ouvrages économiques qui ne risquent pas de se rompre ni de se déformer excessivement sous les actions qui leur sont appliquées (charges, ou déformations imposées).

La RDM est basée sur un ensemble d'hypothèses simplificatrices. Ces hypothèses permettent de réduire la complexité du problème tout en gardant la capacité de résoudre plusieurs problèmes pratiques. On suppose que le matériau homogène, isotrope et qu'aucune force interne n'agit dans le matériau avant l'application des forces externes.

1.3 Applications de la résistance des matériaux

Le champ d’application de la RDM est très vaste et peut être rencontré dans chaque discipline de l'ingénierie:
 
– constructions (génie civil ou bâtiments
– mécanique (machines, moteurs, avions)
– chimie (réservoirs, chaudières)
– électricité (câbles, pylônes, centrales)
– physique (physique du solide)
– matériaux (physique des matériaux)
– etc.….

1.4 Méthode d'analyse

Les trois étapes fondamentales pour la résolution d'un problème de RDM sont:
1. les conditions d'équilibre doivent être satisfaites;
2. la géométrie de la déformation doit être décrite;
3. le comportement du matériau doit être caractérisé
(Relation Force – Température - Déformation)

1.5 Équations d'équilibre

D'après la 2ème loi de Newton (), la condition nécessaire et suffisante pour qu'un corps soit en équilibre est que la résultante de toutes les forces - couples externes sur ce corps soit nulle. Ceci s'exprime par:
  et                                                              1.1



· est la somme des forces extérieures agissant sur le corps

· est la somme des moments de ces forces par rapport à un point arbitraire


Dans un système d'axe (x, y, z), les équations (1.1) s'expriment comme suit:


soient six équations dans l'espace et:

soient trois équations dans le plan.
Si le corps possède autant d'inconnues que d'équations, on dit qu'on a un problème isostatique, c.à.d que les équations suffisent à résoudre le problème.
Si par contre le corps possède plus d'inconnues que d'équations d'équilibre, le problème est hyperstatique.

1.6 Identification des forces agissant sur une structure

Les forces agissant sur une structure peuvent être de différentes natures:

– les forces appliquées et les charges;
– les forces d'appui ou de contact;
– les forces internes

1.6.1 Classification des forces extérieures

Les forces agissant sur une un corps déformable peuvent être classifiées en quatre catégories qui sont:

– les forces de concentrées : F, F.L (couple);
– les forces linéiques: (F/L);
– les forces de surface (F/L²);
– les forces de volume: (F/L^3).

1.6.2 Forces de contact et réactions

Dans presque tous les problèmes d'ingénierie, les structures ont des supports et appuis divers qui empêchent leur mouvement selon un ou, plusieurs degrés de liberté. Puisque un appui ou un support empêche un mouvement, on peut donc le supprimer (physiquement) et le remplacer par des forces appropriées qui jouent le même rôle que l'appui en question. Ces forces de remplacement sont connues sous le nom de forces de contact ou d'appui.



Figure 1.2.1 Appui à dilatation (rouleaux)



Figure 1.2.2 Articulation



Figure 1.2.3 Encastrement
.

Dans la figure 1.2.1-3 l'appui permet la dilatation dans une direction, la libre rotation en un point et bloque tous les degrés de liberté respectivement

1.6.3 Forces internes

Quand un corps est soumis à un chargement, il développe des forces internes sur la matière frmant le corps. Ces forces internes peuvent donc être mises en évidence en coupant le corps en deux ou plusieurs parties distinctes (voir figure 1.3)


 Figure 1.3                         

1.7 Diagramme du corps libre (DCL)

Le diagramme du corps libre (DCL) est le schéma simplifié du corps ou des éléments du corps en équilibre sous l'action de toutes les forces, charges et couples agissant sur le corps ou les éléments du corps.

En construisant un DCL, il est important de reporter:

– toutes les forces et charges, y compris les forces de contact, les charges dues au poids propres (si non négligeables) qui agissent sur le corps;
– toutes les dimensions et distances nécessaires à l'écriture des équations d'équilibre.

Les forces et charges connues doivent être reportées avec leur sens exact sur le DCL. Toutefois, le sens des forces inconnues (ex.: forces de contact) peut être choisie arbitrairement sur le DCL. Après calcul, si ces quantités sont positives, alors leur sens est celui supposé. Autrement, leur sens est opposé à celui choisi arbitrairement.

Quand on fait le DCL de certaines parties d'un corps, on doit vérifier la compatibilité des différents DCL entre eux en observant la principe de l'action et de la réaction (action = réaction).


 



Figure 1.4.1 structure réelle



 Figure 1.4.2 DCL de la structure



1.8 Liaisons

Les organes de liaison sont des dispositifs qui assurent la connexion de structures composées de plusieurs solides.
Les forces de liaison:
– forces qui s’exercent d’un solide à l’autre
– extériorisées par le principe de la coupe



Figure 1.4 schéma montrant les réactions et les forces de liaison

1.9 Éléments structuraux

L'idée de base de la mécanique des structures :
– faire des hypothèses simplificatrices basées sur une cinématique simplifiée
– on classe les structures en

• solides 3D
• plaques et coques (minces ou épaisses)
• membranes (états plans, état axisymétrique)
• poutres et arcs (minces ou épaisses)
• barres et câbles

1.10 Schéma statique

On fait un schéma de la structure isolée, puis on l’isole à l’aide de coupes, ensuite on fait le choix d’un élément structural (barre, poutre, …). Après on détermine les actions (extériorisation des forces) et on modélise les appuis et les liaisons.

L'étape cruciale est de réaliser un schéma simplifié de la réalité

Résumé


- Établissement des schémas statiques;
- identification des éléments structuraux;
- modélisation des actions;
- modélisation des appuis et des liaisons;
- calcul des réactions de liaison.

Chapitre II :Contraintes et déformations uniaxiales

2.1 Introduction

Les notions de contraintes et de déformations ont une importance primordiale pour la compréhension de la RDM. Elles permettent de décrire en termes indispensables en ingénierie le comportement mécanique d'une structure soumise à un chargement.
Dans ce chapitre on introduira les contraintes normales et tangentielles ainsi que les déformations normales et angulaires. On établira la loi de Hooke généralisée qui relie les contraintes aux déformations.


2.2 Notions de contraintes

2.2.1 Définition des contraintes


Figure 2.1.1





Figure 2.1.2                  Figure 2.1.3


Soit un corps rigide soumis à des forces extérieures et le plan P qui coupe ce corps en deux parties. Le plan P coupe le corps suivant une section d'aire A. En réalité, les composantes F et V sont réparties sur toute la surface A.
En RDM, il est très important de pouvoir déterminer l'intensité des petites forces internes sur les différentes zones de la section. Ces forces, DR, sont généralement différentes d'une section à une autre et leur orientation est quelconque par rapport au plan de la surface infinitésimale DA.

Les composantes DFx , DVy et DVz d'une petite force interne DR qui agit sur DA sont présentées à la figure 2.1.3.
On appelle contraintes, les intensités des composantes DFx , DVy et DVz par unité de surface. Mathématiquement les contraintes sont définies par:



 σₓₓ : Contrainte normale (force normale à la surface)
τij : tangentielle ou de cisaillement (forces tangentes à la surface)

L'unité de la contrainte est le N/m² ou Pascal (Pa). Souvent on utilise les miltiples du Pascal comme le kilo, méga, ou giga-Pascal (kPa, MPa, GPa).
 

2.2.2 Contraintes moyennes

La contrainte moyenne est le rapport de la force interne par l'aire de la surface où elle agit. C'est la force qui agit par unité de surface.

Si la force résultante interne R se décompose en composante normale F à la section et en composante tangentielle V à la section, il existera:

2.2.3 Composantes des contraintes

Si à partir du corps rigide (cf. figure 2.1.1) soumis à des sollicitations externes, on isole un cube infinitésimal, les contraintes agissant sur ce cube sont au nombre de neuf dont:

· Trois contraintes normales:
σxx , σxy et σzz
· Six contraintes de cisaillement:
τxy , τyx , τxz , τzx , : τyz , τzy
On peut démontrer, en écrivant SM
o = 0 par exemple, que:

τxy = τyx    τxz = τzx     τyz= τzy
Figure 2.2 État de contrainte d'un
élément infinitésimal dans l'espace


de sorte qu'autour d'un point, on n'a que 6 contraintes inconnues.

Généralement, deux (2) indices servent à définir une contrainte: le premier indique l'axe qui est perpendiculaire à la contrainte et le second, l'axe qui est parallèle à la contrainte.

Par exemple:
τxy  veut dire que t est perpendiculaire à l'axe x et parallèle à l'axe y. 

2.2.4 Contrainte normale



Figure 2.3 Contraintes dues à un effort normal

Un effort normal (ou axial) concentré au centre géométrique de la section d'une membrure produit une contrainte normale s répartie sur toute la section A comme illustré à la figure 2.3. L'intensité de cette contrainte est égale au rapport de l'effort normal FBC et de l'aire de la section A, soit:

σ = FBC/A                                                             2.2 

 2.2.5 Contrainte de cisaillement



Figure 2.4 Contrainte de cisaillement due aux forces P et P'

La contrainte de cisaillement en un point C est donné par t = P/A ou A est la section de la poutre. 



Figure 2.5 Contrainte de cisaillement au niveau du rivet


Le rivet travaille au cisaillement, le rivet va se casser lorsque la contrainte de cisaillement va atteindre la valeur ultime fixée par le matériau. τ = F/A0


Figure 2.6 contrainte de cisaillement exercée sur les deux rivets
 
Dans ce cas la contrainte de cisaillement est donné par t = (F/2)/A0 

2.3 Notions de déformations

2.3.1 Déformation dûe à un chargement mécanique



 

Figure 2.7 Déformation d'un corps soumis à un chargement


La déformation est la variation des dimensions d'un corps sous l'action d'un chargement externe ou d'une variation de température. On distingue deux sortes de déformations:
  1. déformation normale: variation des longueurs (élongation) (1);
  2. déformation de cisaillement: variation des angles (distorsion).
On désignera par d l'allongement résultant et par u, v et w les déplacements dans les directions x, y et z respectivement.
La déformation normale e est définie par e = d/L (changement par unité de longueur).
Si e>0 on a une tension. Si e<0 on a une compression.
Les déformations sont données par :
 


Donc, 6 composantes définissent l’état de déformation.
Les six composantes de l’état de déformation sous forme vectorielle sont:

2.3.2 Déformation thermique

Quand une barre prismatique de longueur L0 soumise à aucune force extérieure s'allongera de DL si elle subit une différence de température de DT tel que: DL =  a L0 DT.
Avec a : coefficient de dilatation thermique [(m/m)/°C].
La déformation thermique est donnée par:   eT = DL/L0 = a  DT
En présence de s on a            e =  s/E + a  DT
c.à.d                                       DL = a L0 DT + FL0/AE

2.4 Diagramme contrainte-déformation

2.4.1 Introduction

Les propriétés élastiques d'un matériau sont celles qui relient les contraintes aux déformations. Chaque matériau possède ses propres caractéristiques élastiques. Ces propriétés élastiques ne peuvent être déterminées qu'expérimentalement.

2.4.2 Essais de traction

Les caractéristiques de référence des matériaux (su, tu,….) sont obtenues à partir de l'éssai de traction où une éprouvette de dimensions normalisées est chargée axialement progressivement jusqu'à la rupture. . Une courbe typique contrainte-déformation, obtenue à l'aide d'un essai de traction sur une éprouvette en aluminium dont la longueur de référence initiale est L0 , est montrée à la figure 2.8

 

Figure 2.8 Les différentes phases d'une courbe s-e typique 
 

Déformation élastique: la déformation disparaît lorsque l'effort cesse, il n'y a pas de déformation permanente (au repos). Dans cette phase les déformations e sont proportionnelles à la contrainte s; la pente de la droite est appelée E, MODULE D'ÉLASTICITÉ ou module Young.
Donc               s = E e

s : contrainte (N/mm2); E: module d'élasticité (N/mm2) qui est une caractéristique du matériau; e: allongement unitaire
Remarque: Eacier ≈ 200 GPa ≈ 30 106 psi; Ealu ≈ 70 GPa ≈ 107 psi
Déformation plastique: si le matériau atteint le domaine plastique, une déformation subsiste en partie lorsque l'effort cesse. La courbe de décharge est alors parallèle à la droite de déformation élastique.

La striction: durant la dernière phase de la déformation plastique, il se produit la striction: localement, la section de l'éprouvette se réduit.

La limite élastique Sy (yield point): on définit Sy comme la contrainte qui crée 0.2% de déformation permanente. Sy acier ≈ 200 MPa; Sy alu ≈ 150 MPa.

La contrainte ultime (Su ): A ce point la contrainte est maximale. Ce palier se situe avant le phénomène de striction pour les matériaux ductiles.

Résumé: L'essai de traction permet d'obtenir des caractéristiques du matériau très utilisées en RDM, soit:
Le module d'élasticité:                       E = s/e                       (Pa       ou N/mm2)
La limite élastique:                             Sy                    (Pa       ou N/mm2)
La contrainte ultime:                          Su                    (Pa       ou N/mm2)

2.5 Élasticité linéaire, loi de Hooke et coefficient de Poisson

Loi de Hooke: La loi de Hooke est une loi exprimant la relation linéaire entre les contraintes et les déformations dans le domaine élastique: s = E e
En RDM on suppose que la loi de Hooke s'applique jusqu'à la limite d'écoulement.
Coefficient de Poisson: Un matériau étiré se contracte latéralement (figure 2.9). Dans le domaine élastique, la relation de contraction demeure constante pour un même matériau. Le rapport des déformations transversales à la déformation longitudinale est appelée le Coefficient de Poisson, il est définit comme suit:
n = (déformation transversale/déformation longitudinale) = - ey/ex = - ez/ex .
Remarques: nacier ≈ 0.3                       nalu ≈ 0.33
n ≈ 0.5, si un matériau se déforme à volume constant comme le caoutchouc.

Figure 2.9 Effet de Poisson

2.6 Loi de Hooke généralisée

Si la pièce est seulement chargée suivant x par sx, la loi de Hooke s'écrit: ex =sx/E
Si sy s'ajoute sur la pièce ex sera diminué de n ey
Si sz s'ajoute sur la pièce ex sera diminué de n ez
ex s'écrira donc comme suit:
ex = sx/E - n sy/E - n sz/E
Et, en généralisant ce raisonnement sur les trois axes:
ey = sy/E - n sx/E - n sz/E
ez = sz/E - n sx/E - n sy/E
Dans le domaine élastique sx, sy, sz < Sy
Les contraintes de cisaillements ne produisent que des déformations angulaires correspondantes. On peut dès lors écrire les relations:
gxy = txy/G                   gxz = txz/G                   gyz = tyz/G
Module de cisaillement: Le module de cisaillement est à la déformation de cisaillement ce que le module d’élasticité (Young) est à la déformation normale :
txy = G gxy
Relation entre E, G et n: En élasticité linéaire, deux constantes physiques sont suffisantes pour caractériser un matériau :
G = E/2(1+n)

2.7 Facteur de sécurité

En tenant compte des hypothèses, des simplifications et des approximation faites pour résoudre les problèmes de RDM, l'ingénieur est amené à prendre en compte ces incertitudes et introduire dans ses calculs un facteur appelé facteur de sécurité (F.S) donné par:

F.S = Pu/P ou su/s = contrainte ultime/contrainte actuelle
Note: F.S ≥ 1

2.8 Systèmes hyperstatiques

Un système est en équilibre statique quand il est possible de calculer les forces de réaction par la seule étude de l’équilibre du système (SF=0, SM=0).
Un système est en équilibre hyperstatique quand il n’est pas possible de calculer toutes les forces de réaction par la seule étude de l’équilibre du système (SF=0, SM=0).
La résolution de l’ensemble des équations (équations d’équilibre + éq. de compatibilité) permet de déterminer complètement le système.

2.9 Coques sous-pression

Les problèmes de calcul des contraintes et des déformations posés par des corps de révolution soumis à des chargements axisymétriques sont courants en pratique : conduites, chaudière et réservoirs.

Figure 2.10 réservoir sous pression

Dans cette section, on fait l’hypothèse que les coques sont des parois minces. Cette hypothèse nous permet de considérer la paroi comme une membrane.



2.9.1 Cylindre ouvert à paroi mince sous pression

Soit un cylindre à paroi mince, considéré infiniment long (il n'existe aucune contrainte selon l'axe longitudinal du cylindre). La contrainte est uniforme dans toute l'épaisseur. En pratique le cylindre est à paroi mince si r ≥ 10 t.




Figure 2.12 Cylindre à paroi mince ouvert sous pression

2.9.1.1 Contraintes pour un cylindre circulaire

Contrainte circonférentielle:                                     sq = p r/t
Contrainte axiale (longitudinale):                            sx = p r/2t = sq/2

2.9.1.1 Déformations radiales pour un cylindre circulaire

En général, c’est la déformation radiale qui nous intéresse. En considérant un gradient de température, on a:
dr = pr2/tE + arDT

Un réservoir cylindrique subissant un essai destructif de mise en pression se déchire toujours suivant une génératrice du cylindre(parce que : sq = 2 sx)
Dans le cas d’un cylindre à paroi mince ouvert, il n’existe aucune contrainte axiale :sx = 0.
Dans le cas d’un cylindre mince fermé sous pression soumis à une force axiale F, on a:
sx = p r/2t + F/2prt






Figure 2.13 Cylindre à paroi mince fermé sous pression


Chapitre III : FLEXION - Diagrammes – Contraintes - DEFORMATIONS

3.1 Introduction

Dans ce chapitre on étudiera la flexion des poutres. On Citera les particularités des poutres en flexion. On abordera les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants. On apprendra également comment calculer les contraintes maximales dans une poutre en flexion et utiliser les conditions de résistance pour dimensionner et concevoir une poutre en flexionet comment calculer aussi les déformations d’une poutre en flexion. A la fin on traitera les systèmes hyperstatiques.

3.2 Notions de contraintes

3.2.1 Notion de poutre

Soit une courbe G0 G1 d’une courbe plane ou gauche, S une surface plane de centre de gravité G se déplaçant telle que G décrive l’arc G0 G1 et que S reste perpendiculaire à G0 G1, de plus S ne tourne pas autour de la tangente à G0 G1 .
Le volume engendré par S est une pièce prismatique appelée poutre.
Le centre de gravité G engendre la ligne moyenne de la poutre et S constitue pour chaque position de G la section droite de la poutre.
Le prisme élémentaire est le volume compris entre deux sections droites infiniment voisines


Figure 3.1 Poutre

3.2.2 Restrictions aux définitions relatives aux poutres

On suppose que le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand devant la plus grande des dimensions de la section droite On suppose également que les déformations de la poutres sont infiniment petites; en conséquence la disposition des actions mécaniques extérieures à la poutre déformée est sensiblement la même que celle de la poutre non déformée.

Que peut-on classer dans la famille des poutre?
• les arbres de transmission
• les profilés des charpentes
• les ressorts hélicoïdaux
• les caissons mécano-soudés longs

Qu’est ce qui n’est pas classable dans la famille des poutres?
• les carters
• les coques
• les pièces massives

Ces pièces doivent être dimensionnées à l’aide de logiciels, par la méthode des « éléments finis ».

3.3 Éléments de réduction des actions de cohésion au centre de gravité d’une section droite

Soit une poutre soumise à un système de forces. Les efforts internes au centre géométrique d'une section droite située à une distance x de l'origine du système de coordonnées sont mis en évidence en effectuant une coupe à l'endroit de cette section et en considérant l'une ou l'autre partie (DCL) de la poutre. En considérant la face positive, on peut identifier les trois composantes des résultantes internes de cette face appelées efforts internes (Figure 3.2):
·         La composante Rx , appelée effort normal N;
·         La composante Ry et Rz , appelées efforts tranchants Ty et Tz respectivement (ces efforts tranchants seront notés v);
·         La composante My et Mz , appelées moments fléchissants ou de flexion M
·         La composante Mt , appelée moment de torsion (sera noté T).

L'effort normal tend à comprimer ou à tendre la poutre, l'effort tranchant à la cisailler, le moment fléchissant à la courber et le moment de torsion à la tordre.

Rappel: l'effort tranchant, le moment fléchissant et le moment de torsion, seront respectivement désignés par les lettres v, M et T.


Figure 3.2 Forces internes - sollicitations


Conventions de signe:

·         M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas
·         v > 0 lorsque la partie droite descend




Figure 3.3 sens positif des efforts internes

3.4 Diagrammes des efforts internes

Les diagrammes des efforts internes (digramme des efforts tranchants DET + diagramme des moments fléchissants DMF) sont importants car ils donnent une image du flux des efforts internes et permettent d'identifier les sections caractéristiques ou critiques. Ces sections sont d'importance pour l'ingénieur lors du dimensionnement ou de la vérification d'un ouvrage. La conception d’une structure en flexion oblige à identifier les zones fortement sollicitées (contraintes élevées).
- Les zones fortement sollicitées en cisaillement sont celles où les efforts tranchants sont maximaux
- Les zones fortement sollicitées en traction ou compression sont celles où les moments fléchissants sont maximaux

Il faut donc être capable d’identifier ces zones

Pour tracer les diagrammes des efforts internes, l'ingénieur dispose d'une des méthodes, appelée méthode des sections.

3.4.1 Méthode des sections

La méthode des sections est la méthode la plus simple et la plus utilisée pour tracer les diagrammes des efforts internes. La méthode consiste à déterminer les équations des moments fléchissants, des efforts tranchants et normaux (s'il y a lieu) en des sections choisies qui sont représentatives de certains portions de la poutre. Ces portions sont généralement limitées par un changement de situation (exemple: force appliquée, réaction d'appui, etc.).
La procédure est la suivante:
(i)      faire le DCL global et déterminer les réactions d'appui;
(ii)    identifier les portions (segments) caractéristiques de la poutre;
(iii)  effectuer une première coupe S1 , située à x de l'origine des axes de coordonnées, représentative de la première portion; considérer l'équilibre du DCL de l'une des parties de la poutre ainsi coupée et déterminer les efforts internes inconnus N1 , V1 , M1 en fonction de x;
(iv)  effectuer une deuxième coupe S2 , située à x de l'origine des axes de coordonnées, et qui soit représentative de la deuxième portion caractéristique; tracer le DCL de l'une des deux parties de la poutre et écrire les équations d'équilibre de ce DCL. Ceci permet alors de déterminer inconnus N2 , V2 , M2 en fonction de x;
(v)    répéter (iv) autant de fois que de coupes nécessaires.

3.4.2 Caractéristiques des diagrammes V et M


Figure 3.4 poutre à charge distribuée


Considérons un élément de longueur dx d'une poutre où s'exerce une charge distribuée de densité q. sur chacune des sections de l'élément, nous posons des efforts tranchants et des moments fléchissants conformes à la convention des signes posée.
Étudions l'équilibre de l'élément infinitésimal.

1)  SFy = 0      ; V + q dx –(V + dV) =0                   q = dV/dx                              (3.1)
 L'équation 3.1 intégrée de x1 à x2 donne:

                           2) ;           M + dM = M + V dx/2 + (V + dV) dx/2=0


 dM = V dx/2 + V dx/2 + dV dx/2
En négligeant les termes infinitésimaux d'ordre deux (dVdx)




Interprétation des équations précédemment développées:

Equation (3.1): La pente de la courbe de V (l'effort tranchant) est égale à la densité de la
charge distribuée.

Equation (3.1.a): La variation de l'effort tranchant V entre deux positions x1 et x2 est égale à
la surface du diagramme de la charge distribuée q dans cette région.

Equation (3.2): * Le graphe de l'effort tranchant V est le graphe de la dérivée du moment
fléchissant M le long de la poutre.
* Le moment fléchissant M atteint ses valeurs maximale ou minimale aux
endroits où V = 0


Equation (3.2.a): La variation du moment fléchissant M entre deux positions x1 et x2 est égale à la surface sous la courbe de l'effort tranchant V dans cette région.

Ces interprétations vont être vérifiées sur les diagrammes V et M traités dans les séances des travaux dirigés.

3.4.3 Construction rapide des DET et DMF

Moyennant quelques règles et un peu d'entraînement, on peut construire les diagrammes DET et DMF assez rapidement en évitant le plus possible de passer par les expressions analytiques.
Les règles qu'il faut observer sont les suivantes:
·         Pour tout segment de la poutre avec charge répartie:
o   Si la charge transversale est nulle, l'effort tranchant est constant;
o   Si la charge transversale est uniforme, l'effort tranchant est linéaire et le moment est parabolique;
o   Le moment fléchissant est extremum (minimum ou maximum) là où l'effort tranchant est nul.
o   Pour tout une poutre en général:
o   L'effort tranchant à l'origine est l'inverse de la force appliquée en ce point;
o   Il y a un saut dans le DET ou le DMF égal et opposé à la force ou au couple concentré appliqué;
o   Le DET est la dérivée du DMF (avec un signe inverse);
o   Le DMF est l'intégrale du DET (avec un signe inverse).

3.4.4 Marche à suivre pour tracer les diagrammes V et M

1.      Calculer les réactions aux appuis;
2.      Tracer le DET le long de la poutre;
3.      Identifier les points où V = 0 car ils prédisent des sections de poutre où M sera maximum ou minimum;
4.      Tracer le DMF le long de la poutre.

3.5 Contraintes dans les poutres en flexion

3.5.1 Introduction

Dans cette partie, nous allons établir des relations grâce auxquelles nous pourrons calculer, en chaque point, les contraintes dues à ces efforts internes. Car c'est par la connaissance des contraintes que nous pourrons effectivement vérifier la résistance d'une poutre ou en déterminer les dimensions.
Pour établir les relations, nous nous appuyons sur les hypothèses suivantes:

(a)          La poutre est droite avant le chargement;
(b)         Le matériau est élastique, et ses propriétés sont les mêmes en tension et en compression;
(c)          Le matériau est homogène tout le long de la poutre; la flexion se produit dans un seul plan qui coïncide avec un axe principal de la section.

sont les sollicitations internes nécessaires aux calculs des contraintes normales et de cisaillement dans les poutres.

Cette partie étudie les contraintes dans les poutres de section constante présentant un axe de symétrie vertical tel que montré à la figure 3.6. Ces sections peuvent être composées d'un assemblage de plusieurs poutres.


Figure 3.5 schéma des profils

3.5.2 Contraintes créées par le moment fléchissant, Mmax

3.5.2.1 Chargement en flexion pure, région tendue et comprimée, fibre neutre


Flexion pure: la poutre est soumise seulement à un moment M, V = 0.
Rappel: V = 0 quand M = Mmax (V = dM/dx).
Lorsqu'une poutre est soumise à un chargement en flexion pure (figure 3.6), elle subit des déformations.



Figure 3.6 poutre en flexion pure
 
Il est généralement admis que les sections transversales planes avant déformation restent planes après déformations (figure 3.7).


Figure 3.7 planéité des sections droites


Cet état de déformation laisse apparaître une zone comprimée et une zone tendue qui sont séparées par un axe neutre ne subissant ni déformation ni contrainte. Ainsi sur l'axe neutre, qui est le lieu géométrique des centres géométriques des sections transversales droites, la déformation est nulle.
Le moment Mz = M comprime les fibres supérieures de la poutre et tend les fibres inférieures. Vers le centre de la section, une fibre sera non sollicitée, ce sera la FIBRE NEUTRE (de longueur invariable).
Afin de respecter la compatibilité géométrique, les sections transversales AB et CD de la poutre doivent demeurer planes- Ceci peut également se vérifier sur un modèle de poutre en caoutchouc:

-      En étudiant le comportement du contour des sections transversales préalablement tracé;
-      En étudiant le comportement de fils fins introduits dans la section de la poutre.

La poutre fléchit en décrivant une courbe de rayon R.

3.5.2.2 Déformation des fibres longitudinales

Nous n'avons pas encore localisé la fibre neutre mais posons l'axe longitudinal x passant par cette fibre. C'est également sur la fibre neutre que sera posé le rayon de courbure R.
La figure 3.8 montre un élément de poutre qui se déforme symétriquement sous l'effet d'un moment de flexion M.




Figure 3.8 Elément de poutre qui se déforme symétriquement sous l'effet
d'un moment de flexion M. La fibre OP est la fibre neutre

Elémént de poutre non sollicité.
Elémént de poutre soumis au moment de flexion M positif

La fibre OP est la fibre neutre, sa longueur L0 ne varie pas. Lorsque l'élément n'est pas sollicité, toutes les fibres aux positions y ont même longueur, L0.
Etudions la fibre AC à la position y. Au départ, sa longueur était L0. Sous l'effet de M, elle est raccourcie de Dl pour avoir la longueur finale A'C'.
Considérons les triangles semblables hachurés (OAA' et STP)

3.5.2.3 Application au domaine élastique (sx<Sy)

Dans le domaine élastiqueL'équation (3.5) devient :  
 

L'équation (3.6) montre que la contrainte sx dans les fibres varie linéairement avec leur position y.


3.5.2.4 Application de M sur une section droite de poutre



Figure 3.9 Elémént de poutre soumise sous flexion

Les contraintes normales sx transmettent le moment de flexion extérieur M à la section A de la poutre. Aucune force axiale Fx extérieure n'est appliquée sur cette section, on peut donc écrire: 

En introduisant l'équation (3.6);


où y a comme origine l'axe neutre.
signifie que l'axe y a son origine sur un axe passant par le centre de gravité de la section A.
Rappel: , localisation du centre de gravité (c.d.g)de A. Si , l'axe y est posé à partir d'un axe principal (passant par le c.d.g).
Donc, l'axe z est l'axe neutre qui passe par le centroїde de la section A.
L'axe neutre:
ü  Passe par le centroїde de la section A;
ü  Est le lieu des fibres neutres;
ü  Délimite la région tendue de la région comprimée.

Les contraintes normales sx transmettent le moment de flexion extérieur M à la section A de la poutre. D'où :


sx: contrainte normale (MPa);

M: moment fléchissant (N.mm)

y: éloignement du point étudié de l'axe neutre (mm);

I: moment d'inertie de surface (mm4)

La contrainte normale sx varie linéairement avec l'éloignement de l'axe neutre, elle sera maximale au point de matière le plus éloigné de l'axe neutre (à ymax). Les figures ci-dessous 3.10 et 3.11 montrent la répartition des contraintes normales sx à travers des sections rectangulaires et en T soumises à un moment M positif.


D'après la figure 3.10, on remarque que dans la région centrale de la section, le matériau est soumis à de plus faibles contraintes par rapport aux régions extrêmes. Si on retire la partie centrale, la poutre ne formera plus une seule pièce. On ajoute une paroi mince (âme) qui relie les deux brides, on obtient un profilé en I. Un tel profil résiste bien en flexion car la majorité de la matière se situe loin de l'axe neutre. Le rapport résistance/poids de la poutre est augmenté par rapport au profil rectangulaire.

3.5.3 Contraintes créées par l'effort tranchant, Vmax

3.5.3.1 Visualisation du cisaillement en mode de flexion 


Figure 3.12 Visualisation du cisaillement sur la poutre


Soit deux poutres 1 et 2 superposées (sans lien) qui fléchissent sous l'action de la force P (Figure 3.12). Initialement, les deux poutres ont la même longueur. Après flexion, on constate que la fibre A1B1 s'est étirée alors que A2B2 s'est raccourcie. Les deux surfaces de contact ont glissé l'une sur l'autre et les deux poutres ont fléchie comme deux poutres indépendantes, l'une autour de Z1 et l'autre autour de Z2 .
 
Figure 3.13 Les deux poutres sont soudées

Maintenant, les deux poutres sont soudées le long de leur plan de contact (figure 3.13)

Les deux poutres assemblées fléchissent comme une seule et unique poutre autour de Z. Les joints de soudure retiennent la tendance de glissement; ils seront sollicités en cisaillement.


3.5.3.2 Calcul de la contrainte de cisaillement


Rappel : V = dM/dx  Une variation du moment de flexion M est accompagnée d’un effort tranchant V.

Soit un élément dx d’une poutre à section rectangulaire soumise à un moment de flexion M qui varie de dM à travers l’élément de longueur dx.
  
Figure 3.14 élément de la poutre soumis sous l’effort de cisaillement
 
Isolons la partie inférieure (double trait hachuré)

Figure 3.15 partie inférieure de l’élément de la poutre de la fig.3.14
 
Latéralement, ce nouvel élément à les sections d’aire A’

 
  

Figure 3.16 centre de gravité
 

avec :

t : contrainte de cisaillement (MPa );

: effort tranchant (N) ;

: 1er moment de surface (mm3) = 

:moment d’inertie de la surface de la poutre (mm4) ;

: largeur de la section sollicitée.

3.5.3.3 Distribution de t à travers la section rectangulaire

3.6 Déformées des poutres


Dans cette section on apprendra à calculer les flèches et les rotations de flexion dans les structures simples isostatiques par les méthodes de l’intégration et du moment des aires. On abordera le courbure ainsi que l’équation différentielle de la déformée élastique.


3.6.1 Introduction


Lors du dimensionnement ou de la vérification d’une poutre soumise à des sollicitations diverses, l’ingénieur doit limiter non seulement les contraintes aux contraintes admissibles recommandées par le code, mais également les déplacements et les déformations. Car des déformations excessives peuvent entraîner, entre autres, des fissures importantes dans la poutre ou dans les éléments non structuraux, (exemple : mur de remplissage, baie vitrée, etc.).

L’ingénieur est, par conséquent, appelé à évaluer les déflections des structures afin de les maintenir en deçà de celles spécifiées par les codes.

Cette section est dévoué à une introduction aux déformées des poutres. Elle déterminera d’abord l’équation de la courbe élastique et elle exposera deux méthodes pour déterminer les déplacements (flèches et rotations) :

·                   La méthode de l’intégration ;

·La méthode des moments des aires.


3.6.2 Rayon de courbure


Considérons un élément de poutre dans son état de déformé (Figure 3.19). On suppose que les déformations sont petites et que les sections droites a et b qui sont parallèles avant déformation, restent droites après déformation. Ces sections subissent une rotation dq autour d’un centre de rotation O. Soit R le rayon de courbure de la poutre.

 
Figure 3.18 Élément de poutre en flexion


Se référant à la figure 3.18, si Lab désigne la longueur de ab, dq étant petit, on peut écrire :

Lab = Rdq 3.20
et
La’’b’’ = (R+c)dq 3.21

L’élongation de la fibre inférieure de la poutre peut être calculée par :
dc = La’’b’’ - Lab
= (R+c)dq  - Rdq
= c dq

En notant que ec = dc/L, il s’en suit :
ec = dc/Lab = c dq /Rdq
ec = c/R

d’une manière similaire, à une distance y de l’axe neutre on a :
ey = y/R 3.22

Sachant que ey = sy/E et que sy = (M/I) y, il s’en suit :
R = EI/M 3.23
L’équation 3.23 relie le rayon de courbure R de la déformée au moment de flexion M.

3.6.3 Équation de la courbe élastique

On peut démontrer en mathématiques que le rayon de courbure de toute courbe (Figure 3.20) représentée par la fonction v = f(x) peut s’écrire :


 
 

Dans les poutres, les pentes des déformations élastiques sont petites si bien qu’on peut négliger le terme (dv/dx)2 . Ainsi l’équation 3.24 peut s’écrire :



1/R =d2v/dx2                                                              3.25

En tenant compte de l’équation 3.20, il s’en suit :
 
 
Les constantes qui apparaissent lors du processus d’intégration peuvent être évaluées en considérant les conditions aux frontières. Le tableau 3.1 résume les cas les plus courants et présente leurs conditions aux frontières.

3.6.5 Méthode des moments statiques


La méthode des moments statiques pour déterminer les rotations et les déplacements subis par les poutres en flexion est très simple à utiliser. Elle repose sur deux théorèmes qui peuvent être aisément démontrés à partir de l’équation de la déformée (Eq. 3.26)

3.6.5.1 Exposé de la méthode 

En se référant à la figure 3.20 qui représente une portion de la déformée d’une poutre ainsi que le diagramme (M/EI) correspondant, l’équation de la déformée (Eq. 3.26) peut s’écrire

Le terme représente l’aire A sous la courbe M/EI entre les points A et B. On peut, dès lors, énoncer le premier théorème :



Le changement de pente qAB entre deux points quelconques A et B sur la courbe élastique est égale à l’aire sous le DMF entre ces points.



D’autre part, se référant à la figure 3.21, représentant un segment de longueur x de la déformée, on peut écrire

En particulier entre deux points A et B
 
 
tB/A est la distance verticale du oint B de la courbe élastique et la tangente à la courbe élastique au point A. Il faut noter ici que d’une manière générale, tB/A tA/B .
L’équation 3.3 permet d’énoncer le deuxième théorème comme suit :

La distance verticale (tB/A) entre un point B de la courbe élastique et la tangente en un point A de cette même courbe est égale au moment par rapport à B de l’aire sous le diagramme (M/EI) entre A et B.

Remarques importantes :
a)      En général, la méthode des moments statiques, à travers les équations 3.30 et 3.33, ne permet de trouver les rotations et les déflections que d’une manière indirecte. Par exemple, pour évaluer les rotations et les déflections en B, celles en A doivent être connues, ce qui est souvent le cas pour les cas simples tels les poutres encastrées et les poutres simplement appuyées.
b)      Dans tB/A , la première lettre (B) désigne le point où l’on désire calculer la distance verticale et aussi le point par rapport auquel on doit calculer le moment de l’aire.
c)      Dans le cas où l’on a plusieurs types de chargement, on peut utiliser la méthode pour un chargement à la fois, puis appliquer le principe de superposition.
d)     L’application du deuxième théorème de la méthode nécessite le calcul du moment de l’aire A sous M/EI par rapport à un point  et donc la position du centre géométrique de cette aire.


Chapitre IV :TORSion

4.1 Introduction

Lorsqu’une membrure est soumise à une torsion extérieure, il résulte des moments de torsion internes et donc des contraintes de cisaillement et des déformations angulaires. Comme nous allons voir dans cette partie de cours, les hypothèses de la RDM et citer les particularités d’un arbre cylindrique sollicité en torsion.
Dans ce chapitre on abordera la nature et la répartition des contraintes dans une section droite et dans l’arbre. On Calculera en particulier la rotation d’une section droite d’un arbre, et on calculera pour un arbre cylindrique les conditions :
(a)              de résistance : contrainte tangentielle maxi.
(b)              de rigidité : angle unitaire de torsion maxi.

4.2 Définitions et Hypothèses

La poutre subit de la torsion si les forces extérieures créent des forces de cohésion représentées par un moment axial sur l’axe neutre.
Les hypothèses de départ pour l’étude de la torsion sont :
i)        le matériau est homogène et isotrope, c’est à dire qu’il la les mêmes propriétés en tout point et toute direction ;
ii)      les dimensions extérieures ne changent pas de façon notable ;
iii)    les diamètres demeurent droites



iv)    les sections demeurent planes

  
Figure 4.2 Les sections demeurent planes


En tordant exagérément un barreau de caoutchouc, on remarque :
-          que les dimensions extérieures ne changent pas ;
-          que les lignes longitudinales se déforment en hélice ;
-          que les lignes circonférencielles sont inchangées ;
-          que les sections extrêmes A demeurent planes

4.3 Déformation de cisaillement et loi de Hooke

La torsion est une rotation successive des sections parallèles entre elles. Entre chacune de ces sections, il se produit du cisaillement.

Afin que l’élément soit en équilibre, il faut ajouter un deuxième couple (t’) en sens inverse du couple créé par les contraintes t.

4.4 Contraintes dues au moment de torsion T appliqué

Puisque les diamètres demeurent rectilignes, l’angle de déformation g varie linéairement avec le rayon du barreau (figure 4.4)



Figure 4.4


Sous l’effet du couple T, le point A vient en A’ et le plan initial BOO1A devient BOO1A’. L’angle gmax se mesure sur l’extérieur du barreau. g décroît linéairement en se rapprochant de l’axe OO1. g varie linéairement de gmax (à l’extérieur) à O (au centre).
Dans le domaine élastique :
·         g varie linéairement avec R ;
·         Domaine élastique où g = t/G ;
·         t, la contrainte de cisaillement, varie linéairement avec le rayon ;
·         tmax à l’extérieur.

Considérons la section interne A où agit le moment T. Ce couple est transmis par les contraintes de cisaillement t.
Etudions une section interne où le moment T crée des contraintes t.


 
Figure 4.5 
Le moment T crée des contraintes de cisaillement t qui varient linéairement avec le rayon. t à la position r est égal à :
 
L’élément dA (dA=rdqdr) reçoit la contraintequi crée un moment par rapport à O, dT = t dA r     
Cha
Le moment T sera donc égal à .

La contrainte de cisaillement maximale se situe à l’extérieur et sera égale à :

Domaine élastique

: MPa
T : Moment en N.mm
R : Rayon maxi (mm)
J : Moment d’inertie polaire (mm4)

Note : Moment d’inertie polaire


4.5 Déformation due au moment de torsion T appliqué

Soit un barreau de longueur L tordu de l’angle q.

Figure 4.7



L’arc AA’ peut s’exprimer de deux façons différentes :
Arc AA’ = gmax L = Rq  (1)


Comme gmax = tmax/G dans le domaine élastique et


gmax peut se formuler :

Cette formule représente l’angle de torsion q sur une longueur L, dans le domaine élastique.

q : angle de torsion (radian)     T : Moment de torsion (N.mm)  L : Longueur (mm)
G : Module d’élasticité en torsion (MPa)    J : Moment d’inertie polaire (mm4)

4.6 Systèmes hyperstatiques en torsion

Tout comme pour la traction, pour la torsion, un système hyperstatique est un système où les moments internes ne peuvent pas directement être obtenus par les équations d’équilibre. Et, de façon identique, trois étapes sont à suivre :
1.      Analyse des moments extérieurs et étude de l’équilibre ;
2.      Etude des déplacements et de la compatibilité géométrique ;
3.      Application des relations angle de torsion/couple.


Voir aussi :
Combinaison et transformation 
des contraintes planes 
critères de résistance

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