Exercice Corrigé recherche operationel :Issues


Partie 1
Une usine sidérurgique doit produire 1000 pièces identiques nécessitant chacune, respectivement,
1, 0.6 et 0.3 kg de métaux M1, M2 et M3. Ces métaux sont présents dans différents alliages que l’usine achète sur le marché. Le prix et la composition (en %) de ces alliages sont précisés dans la table suivante :

a) Modéliser le problème de la recherche d’un plan d’achat des alliages, minimisant les frais de l’usine et lui assurant de pouvoir produire les 1000 pièces demandées, sous forme d’un P.L. canonique (PLP).
b) Etablir le dual PLD de PLP.
c) Résoudre PLP en utilisant l’algorithme dual du simplexe (phase II).
d) Donner la solution optimale de PLD.


Partie 2
Une entreprise disposant de 8 000 m2 de carton en réserve fabrique et commercialise 2 types de boites en carton. La fabrication d’une boîte en carton de type 1 ou 2 requiert, respectivement, 1 et 2 m2 de carton ainsi que 2 et 3 minutes de temps d’assemblage. Seules 210 heures de travail sont disponibles pendant la semaine `a venir. Les boîtes sont agrafées et il faut quatre fois plus d’agrafes pour une boite du second type que pour une du premier. Le stock d’agrafes disponible permet d’assembler au maximum 15 000 boîtes du premier type. Les boîtes sont vendues, respectivement, 3 et 5 CHF. L’entreprise cherche ` a déterminer un plan de production pour la semaine `a venir maximisant son chiffre d’affaires.

Modélisation
Soient les variables de décision suivantes :
x1 : le nombre de boîtes de type 1 fabriquées pendant la semaine ;
x2 : le nombre de boîtes de type 2 fabriquées pendant la semaine.
Le P.L. canonique permettant de déterminer un plan de production maximisant le chiffre d’affaires de l’entreprise pour la semaine à venir est :

Résolution
En appliquant l’algorithme du simplexe `a ce P.L. mis sous forme standard, on obtient le dictionnaire optimal suivant :

Questions
a) Donner le plan de production optimal pour la semaine à venir.
b) L’entreprise peut engager un étudiant pour compléter son équipe. Ce dernier est payé 30 CHF de l’heure, travaille à la même cadence que les employés permanents et est présent pendant 42 heures au maximum pendant la semaine à venir.
i) Pendant combien de temps l’entreprise doit-elle engager l’étudiant ?
ii) Quel est alors le nouveau chiffre d’affaires de l’entreprise ? A quel plan de production correspond-il ?
c) En fouillant dans les stocks, une boîte de 1000 agrafes, suffisantes pour agrafer l’équivalent de 125 boîtes du premier type, a été retrouvée. Que devient le chiffre d’affaires et le plan de production optimal suite à cette découverte ? Remarque. Le point c) est indépendant du point b) et fait référence au problème initial sans main d’œuvre supplémentaire.



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