Elément fini de Lagrange


Définition : Un élément fini de Lagrange est un triplet (K,Σ,P) tel que
• K est un élément géométrique de IRn (n = 1, 2 ou 3), compact, connexe, et d’intérieur non vide.
• Σ = {a1, . . . ,aN} est un ensemble fini de N points distincts de K.


• P est un espace vectoriel de dimension finie de fonctions réelles définies sur K, et tel que Σ soit P-unisolvant (donc dim P = N).

Définition : Soit (K,Σ,P) un élément fini de Lagrange. On appelle fonctions de base locales de l’élément les N fonctions pi (i = 1, . . . ,N) de P telles que
 pi(ai) = δij            1 ≤ i,j ≤ N.           (3.2)

On vérifie aisément que (p1, . . . ,pN) ainsi définie forme bien une base de P.

Définition : On appelle opérateur de P-interpolation sur Σ l’opérateur πk qui, à toute fonction v définie sur K, associe la fonction πkv de P définie par
est donc l’unique élément de P qui prend les mêmes valeurs que v sur les points de Σ.


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