La soution d'Exercice sur Etude d’une distribution sphérique inhomogène (Théorème de Gauss)



1. Expression du champ électrostatique.

 Tous les plans contenant le centre O de la sphère et le point P sont des plans de symétrie de la distribution des charges. Le champ électrique doit simultanément appartenir à l’ensemble de ces plans, il est donc porté par leur intersection qui est la droite OM. On obtient :
 Comme cette distribution présente une invariance par rotation autour du point O, le champ électrique ne dépend pas alors des variables angulaires.

Ce résultat ne dépend pas de la position de ce point P.
On choisit alors une surface de Gauss centrée en O et de rayon r. Le théorème de Gauss s’écrit :


On distingue alors deux régions de l’espace :
 ● Pour   r < R  (on peut mettre ici le signe égal car la distribution est volumique ce qui assure la continuité de la composante normale (ici radiale) du champ électrostatique).
 Pour la charge intérieure :

 On obtient par application du théorème de Gauss :
 Le champ électrique a pour expression dans cette région :
 ● Pour r>R  , La charge intérieure à la surface de Gauss s’écrit : 

On obtient par application du théorème de Gauss :

 Le champ électrique a pour expression dans cette région :
2. Maximum du champ.
Le champ a une valeur extrémale que l’on supposera maximale lorsque :



 D’où :

 Le coefficient k a pour expression :

 Dans le où  r/R=1/2  on obtient :




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