La solution d'Exercice sur Solénoïde de section carrée (Champ magnétique)






1. Expression du champ.

On considère une « collection » de spires comprises entre les cotes z et z + dz  autour d’un point P créant en M un champ magnétique élémentaire d’expression :
  

avec
Or:
d’où


On obtient une nouvelle expression du champ élémentaire :

Le champ magnétique s’écrit alors :
On effectue un changement de variable en posant : et 

 On obtient ainsi :

2. Cas où l >> a.

Dans le cas où l >> a  on peut poser queet que Avec ces approximations on obtient :
3. Champ loin des faces.
Dans ces conditions on peut effectuer les approximations suivantes : et 
On obtient alors :

La démonstration relative au solénoïde infini fait intervenir des considérations de symétrie, d’invariance par translation suivant l’axe Oz ¸le théorème d’Ampère et en rien la forme des spires constituant le solénoïde. C’est pour cela que l’on retrouve le résultat classique du solénoïde à spires circulaires.

4. Cas du solénoïde infini.
Tout plan perpendiculaire à l’axe du solénoïde est plan de symétrie de la distribution de courants. Cette constatation permet d’affirmer alors qu’en tout point  intérieur ou extérieur au solénoïde le champ magnétique a une direction parallèle à celle de l’axe de ce solénoïde.
Les lignes de champ magnétique sont alors des droites parallèles à l’axe Oz.
D’autre part il y a invariance de la situation physique lors d’une translation le long de l’axe Oz, le champ magnétique garde alors une valeur constante le long d’une ligne champ.
On applique le théorème d’Ampère :
Pour une courbe fermée à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde, il n’y a pas de courants enlacés. On alors :
 Comme on  a 
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde mais pas avec la même valeur. En effet, les spires sont assimilables à une distribution surfacique de courants et il y alors discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique à la traversée des spires.

En tout point intérieur au solénoïde on a : (et cela d’après la question 3 et des résultats précédents). Pour déterminer le champ à l’extérieur on considère un nouveau contour d’Ampère comme indiqué sur la figure suivante :

 Le théorème d’Ampère permet d’écrire que :
 On retrouve bien ainsi la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique à la traversée d’une nappe de courants.








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