La solution d'Exercice sur E et B orthogonaux. Cycloïde (Mouvements d'une particule chargée dans un champ électromagnétique)


1.  Equations différentielles.
On étudie le mouvement de la particule dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Ce système est soumis à l’action de son poids et à la force de Lorentz. On néglige cependant l’effet du poids devant celui de la force électromagnétique. La seconde loi de Newton permet d’écrire que :
L’accélération s’écrit alors :
On obtient le système d’équations différentielles couplées suivant :
avec
2.  Equations paramétriques de la trajectoire
 L’équation (3), compte tenu des conditions initiales, donne z = 0. Le mouvement s’effectue dans le plan xOy.
L’intégration de (1) fournit :
Comme la composante initiale de la vitesse suivant Ox est nulle on obtient :
On reporte ce dernier résultat dans l’équation (2) et on obtient l’équation différentielle suivante :
La solution de cette équation est :
 C et D sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales. En effet :

On obtient finalement :

Comme on a 
L’intégration de cette dernière équation fournit, en tenant compte des conditions initiales :
3.  Allure de la trajectoire.

 Pour déterminer l’allure de la courbe, on dresse un tableau de valeurs : 


On limite l’étude à l’intervalle utilisé compte de la périodicité des fonctions utilisées.
 


 

4.  Valeur de la vitesse.

La norme du vecteur vitesse a pour expression :
A la date la vitesse est égale à :
5. Utilisation du théorème de l’énergie cinétique.
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre les dates 0 et 

Or :
Finalement :








 
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