1. RAPPEL MMC

1. RAPPEL M.M.C.




[ ]
Voici les notations utilisées:
   Le repère fixe : R (0,x1,x2,x3)
   [ ]
Nous travaillerons dans le cadre des petites déformations, cela implique que la position de référence reste la position initiale. Les chargements peuvent être de type volumique ou de type surfacique dans le cas 3-D. La résolution d'un problème de structure consiste à étudier trois champs vectoriels ainsi que leur relation :
Le champ de déplacement, noté
[ ]
Le champ des déformations noté
[ ]
Le champ des contraintes noté
[ ]
Les différentes relations entre ces quantités peuvent être schématisées par la figure suivante:
[ ]
Dans le cas général, on montre que les équations d'équilibre s'écrivent sous la forme
[ ]
qui se simplifient dans le cas de la statique à :
[ ]
[ ]est une force volumique dans le cas 3-D.
Nous considérons [ ]un point dans la configuration de départ et [ ]un point voisin. Suite au chargement il se transforme respectivement en [ ]. Ce qui donne sur un dessin la figure suivante :
[ ]
Si nous faisons une étude dans le cas 2-D, nous pouvons mettre en place la relation entre les déplacements et les déformations. Nous utilisons seulement des DL d'ordre 1.
[ ]
Ce calcul peut être effectué pour les autres composantes dy,dz , dans le cas 3-D, et écrit sous la forme matricielle suivante :
[ ]
[ ]
On montre alors que le tenseur des déformations H s'écrit d'une façon générale :
[ ]
Dans le cadre des petites perturbations (faible rotation, faible déplacement), il suffit de prendre la partie linéaire de H.
[ ]
Le tenseur des déformations [ ]est symétrique par construction, il est défini positif et donc il a des valeurs propres réelles. Ces directions principales sont orthogonales. On les détermine à l'aide d'un cercle de Mohr et des mesures obtenues sur une rosette à 45deg..
Les contraintes n'ont de sens que par rapport à une facette que l'on oriente par sa normale. Si on prend comme élément de volume un parallélépipède
[ ]
[ ]est la contrainte dans le solide sur la facette de normal
[ ]. Dans le cas où le vecteur normal est colinéaire à un vecteur de base, on a:
[ ]où i correspond à la direction de la normal et j à la composante dans le plan de la facette.
Nous pouvons définir un certain nombre d'invariant sur une matrice et donc sur le tenseur des contraintes. Les trois premiers invariants sont :
[ ]
[ ]est un tenseur symétrique défini positif et donc ses valeurs propres sont réelles, notées : [ ]. Il est facile de montrer que les directions principales sont orthogonales.
On définit également la contrainte normale [ ]et tangentielle [ ].
[ ]
On définit également le tenseur des contraintes comme la somme de deux tenseurs : le tenseur sphérique, dont la forme correspond à celle du tenseur des contraintes pour une pression hydrostatique, et le déviateur des contraintes.
[ ]
Il est facile de montrer que si [ ]
Quand on connaît les déplacements il est simple de déterminer les déformations, mais le Pb inverse n'est pas aussi simple : 3 composantes pour le déplacement et 6 composantes pour le tenseur des déformations. On a donc 6 inconnues et trois équations : le problème n'a pas de solution unique. Cela est dû au mouvement de corps solide : Rotation d'ensemble, translation (Mécanique des milieux indéformables). Il existe des relations de compatibilité pour soulever ces indéterminations qui sont :
[ ]
Ces formules sont données sans sommation de l'indice répété.
La loi de comportement relie le tenseur des déformations au tenseur des contraintes. A chaque catégorie de matériau correspond un type de loi. Nous allons ici nous intéresser seulement au matériau élastique linéaire et donc à la loi de Hook :
[ ]
[L] est un tenseur d'ordre 4, mais comme les tenseurs des déformations et des contraintes sont symétriques, il est possible d'assimiler [L] à une matrice [6,6] en utilisant une représentation vectorielle des champs de déformations et de contraintes. De plus dans le cas d'un processus adiabatique et isotherme réversible, on a :
[ ]
[omega] est la densité d'énergie de déformation interne.
Donc dans un cas général, il ne reste plus que 21 constantes différentes pour qualifier le comportement d'un matériau anisotrope.
Aucune direction privilégiée, matériau macroscopiquement homogène
ex : Acier, inox, plastique ....
Définition de la loi de Hook:
[ ]
[lambda],u sont les coefficients de Lamè
Maintenant nous allons étudier des cas simples de chargement pour mettre en évidence des coefficients ayant des sens physiques plus évidents.
Le solide est soumis à un champ de pression surfacique et aucune force volumique.
[ ]
les équations d'équilibre locales donnent :
[ ]
En introduisant la loi de Hook et [ ]
Il est simple de montrer que [ ]est solution du problème.
Calculons [ ]
[ ]
en introduisant ce résultat dans la loi de Hook, on obtient :
[ ]
[ ]
Maintenant si nous calculons la variation relative de volume nous avons :
[ ]
La variation de volume pour une pression p est inversement proportionnelle à K, qui est appelé Module de rigidité à la compression.
Rq : Plus K augmente plus le matériau est peu compressible, et si [ ]le matériau est dit incompressible.
Considérons une poutre cylindrique de longueur L limitée à ses extrémités par deux surfaces [ ]orthogonales à l'axe de révolution. Deux forces de traction opposées sont exercées sur la poutre à chacune de ses extrémités. [ ]. F est une force répartie sur la surface [ ]. Le matériau est supposé homogène isotrope, Il suit donc une loi de Hook.
les équations d'équilibre locales donnent :
[ ]
Il est simple de vérifier que la fonction [ ]est solution du Pb. En utilisant la loi de Hook on a :
[ ]
En utilisant [ ], il est facile de montrer que le module d'élasticité ou module d'Young E est égal à :
[ ]
mais également que :
[ ]
en posant classiquement [ ], on en déduit que le coefficient de Poisson est :
[ ]
Nous pouvons récapituler ces quantités dans un tableau :
[ ]
En inversant la loi de Hook, et en introduisant les relations précédentes on obtient :
[ ]
ex : Expliciter les matrices de comportement en contrainte et en déformation plane.
Définition :
Un matériau est dit orthotrope s'il a deux plans de symétrie de comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies. Dans ce cas il y 9 constantes mécanique pour définir la loi de comportement.
[ ]
exemple : Matériau composite (assemblage de pli à 0-90)
Isotrope transverse :
C'est un orthotrope mais avec une seule direction différente. C'est donc la même loi de comportement mais
[ ]
exemple : Matériau composite (pli unidirectionnel à 0), bois .......
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